3.2.1几个常用函数的导数教案
3.2.1几个常用函数的导数教案
教学目标:
1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数;
2. 利用公式解决简单的问题。 教学重点和难点
1.重点:推导几个常用函数的导数;
2.难点:推导几个常用函数的导数。
教学方法:
自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数,感知、理解、记忆。
教学过程:
一 复习
1、函数在一点处导数的定义;
2、导数的几何意义;
3、导函数的定义;
4、求函数的导数的步骤。
二 新课
例1.推导下列函数的导数
f (x ) =c ∆y f (x +∆x ) -f (x ) c -c ===0, 解:∆x ∆x ∆x
∆y f ' (x ) =lim =lim 0=0 ∆x →0∆x ∆x →0(1)
1. 求f (x ) =x 的导数。 ∆y f (x +∆x ) -f (x ) x +∆x -x ===1, ∆x ∆x ∆x
∆y ' =lim 1=1。 f (x ) =lim ∆x →0∆x ∆x →0解:
y ' =1表示函数y =x 图象上每一点处的切线的斜率都为1. 若y =x 表示路程关于时间的函数,则y =1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。
思考:(1).从求y =x ,y =2x ,y =3x ,y =4x 的导数如何来判断这几个函数递增的快慢?
(2).函数y =kx (k ≠0) 增的快慢与什么有关?
可以看出,当k>0时,导数越大,递增越快;当k
2. 求函数y =f (x ) =x 的导数。 2'
1
∆y f (x +∆x ) -f (x ) (x +∆x ) 2-x 2
===2x +∆x , 解: ∆x ∆x ∆x
y ' =f ' (x ) =lim ∆y =lim (2x +∆x ) =2x 。 ∆x →0∆x ∆x →0
y ' =2x 表示函数y =x 2图象上每点(x,y )处的切线的斜率为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化:
(1) 当x
(2)当x>0时,随着 x 的增加,y =x 2增加得越来越快。
3. 求函数y =f (x ) =1的导数。 x
11-∆y f (x +∆x ) -f (x ) x -(x +∆x ) 1====-2解: , ∆x ∆x ∆x x (x +∆x ) ∆x x +x ⋅∆x
y ' =f ' (x ) =lim ∆y 11=lim (-2) =-2 ∆x →0∆x ∆x →0x +x ⋅∆x x
思考:(1)如何求该曲线在点(1,1)处的切线方程? k =f ' (1)=-1,所以其切线方程为y =-x +2。
(2)改为点(3,3),结果如何?
(3)把这个结论当做公式多好呀,,既方便,又减少了复杂的运算过程。
三 例题
1.
试求函数y =f (x ) 解:
∆y f (x +∆x ) -f (x ) ==∆x ∆x =
y ' =f ' (x ) =lim ∆y =lim =∆x →0∆x ∆x →2 2. 已知点P (-1,1),点Q (2,4)是曲线y =x 上的两点,求与直线PQ 平行的曲线
的切线方程。
解:y =2x ,设切点为M (x 0, y 0) ,则y
' ' x =x 0=2x 0. 2
因为PQ 的斜率k =4-1
2+1=1, 又切线平行于PQ ,
所以k =2x 111
0=1,即x 0=2,切点M (2, 4) ,
所求直线方程为4x -4y -1=0。
四 练习
1. 如果函数f (x ) =5,则f ' (1)=( )
A. 5 B. 1 C. 0 D. 不存在
2. 曲线y =-2x 2+1在点(0,1)的切线斜率是( ) A.-4 B.0 C.2 D. 不存在
3. 曲线y =1
2x 2在点(1,1
2) 处切线的倾斜角为( )
A. -π
4 B. 1 C. π
4 D. 5π
4
答案:
1.C 2.B 3.C
五 小结
1. 记熟几个常用函数的导数结论,并能熟练使用;
2. 在今后的求导运算中,只要不明确要求用定义证明,上述几个结论直接使用。
六 作业
1. P85 ,A 组 1
2. 求双曲线y =1
x 过点(2,1
2) 的切线方程。
3