对高中数学课标教材的分析与研究

对高中数学课标教材的分析与研究

博兴一中孙翠玲

自2004年9月开始，各个版本的高中数学课程标准实验教科书开始在全国范围内实验。与原来大纲教材相比，各个版本课标教材在知识内容的体系安排，教材的组织形式和呈现方式等方面都做了很大的改革，这些变化基本得到了教师的认可，但同时也存在许多不足和值得改进的地方。我今年担任高三数学教学工作，接触新教材早，经历了新教材各个章节内容的教学，下面我结合自己对教材使用中的理解和认识对教材进行分析。

首先是对新教材结构的认识： 主干知识和工具知识是：

代数几何概率

代数中有函数、数列、三角函数、数列，几何中有直线和圆的方程，圆锥曲线方程，直线、平面和简单几何体，概率中有排列、组合及二项式定理、概率、统计算法框图，工具内容是不等式、向量、复数、推理证明、导数、简单的逻辑连接词等。

数学必修课的11项内容主要是代数、几何（包括立体几何和平面解析几何）和概率初步知识三部分，考虑到学科知识的系统性和学生的认知水平，将这三部分内容大致按照代数、几何和概率初步的顺序相对集中安排。

集合与简易逻辑作为中学数学的基础和数学语言，安排在全套教材的首章。接下来第一部分是代数的内容，包括函数、数列、三角函数三章。因为数列可以看成以正整数为自变量的函数的值的排列，与函数关系密切，内容又比较简单，所以将数列由原来在高中二年级学习提前到高中一年级。

第二部分是几何的内容，包括直线和圆的方程，圆锥曲线方程，直线、平面和简单几何体三章，因为立体几何较平面解析几何难学，所以本着先易后难，先平面后空间的顺序，先学习平面解析几何的两项内容，然后再学习空间图形部分。平面向量是属于几何的内容，它是连接代数与几何的结合点，为了便于应用，将这一项安排在代数与几何中间。

第三部分为概率的内容，包括排列与组合、概率。排列、组合及二项式定理的内容可以作为概率的预备知识，与概率合并为一章。这样一方面可以控制和适当降低排列、组合内容的难度，同时又能更好地结合概率内容的学习。不等式包括不等式的概念、基本性质以及不等式的证明和解法，因为义务教育初中数学没有学习一元二次不等式的解法，这样将不等式中的一元二次不等式移到集合之后学习，一方面学完集合可直接用来巩固集合的表示方法，另一方面又可作为求函数定义域等内容的预备知识。而不等式的性质和证明的内容，抽象思维和逻辑推理要求较高，是初等数学的难点，因此安排在数学第二册开始，作为高二学习内容。数学必修课本编成两册，共10章，每册5章，目录及课时安排如下：

数学第一册（供一年级使用）1. 集合与简易逻辑（约22课时） 2. 函数（约30课时） 3. 数列（约12课时）4. 三角函数（约36课时） 5. 平面向量（约22课时）

数学第二册（供二年级使用）6. 不等式（约16课时）7. 直线和圆的方程（约22课时）

8. 圆锥曲线（约18课时） 9. 直线、平面和简单几何体（约36课时）10. 排列、组合与概率（约30课时）

选修课教学内容》：数学选修内容，实际上是两部分：概率统计、微积分。复数是我国高中数学传统的教学内容，《新大纲》把它安排在选修课里，主要便于将两种水平区别开来，特别是在三角函数中反三角函数已经删减的情况下，复数就不能作统一要求，否则对选学系列Ⅱ的学生的要求就有些偏低。所以复数内容只安排给选学选修Ⅱ的学生学习。概率统计、微积分初步知识是原来教材中的任选内容，增加到选修课里，一方面更新了内容、扩大了基础，有效地改变了我国中学数学课的" 内容陈旧、知识面窄" 的现状；另一方面也部分地解决

了" 一刀切" 的课程结构，能够使不同需要和不同水平的学生学习到不同的数学课程。 数学选修课本编成两个分册，目录及其课时安排如下：

数学第三册（水平Ⅱ）

1. 概率与统计（约14课时）

2. 极限（约12课时）

3. 导数与微分（约16课时）

4. 积分（约14课时）

5. 复数（约16课时）

数学第三册（水平Ⅰ）

1. 统计（约12课时）

2. 极限与导数（约20课时）

下面我结合结合教学的重点内容再对新老教材的内容设置进行对比说明。

1、新课标教材对老教材的内容设置上进行精简和更新，对一些知识的教法上有所改变。 《新大纲》在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，删减了传统的初等数学中次要的、用处不大的，而且对学生接受起来有一定困难的内容。与此同时，增加了一些为了进一步学习打基础的，有着广泛应用的，而且又是学生能够接受的新知识。其中删减的内容主要有代数中的幂函数、指数方程、对数方程、一些三角恒等变形的公式、反三角函数、三角方程，立体几何中的棱台、圆台等。增加的内容主要有简易逻辑、平面向量、空间向量、概率统计、微积分初步知识等，有些内容在知识的难度上进一步降低要求，象复数只要求简单的代数形式的运算，对三角形式及复数的模，复数方程等都删减了。还有原来高中数学教材中三角函数及其相关的内容共有三章，即" 三角函数"" 两角和与差的三角函数"" 反三角函数和简单三角方程" ，合并为" 三角函数" 一章，由原来的72课时压缩为36课时（不包括正弦定理、余弦定理和解斜三角形举例）。因此，新编的" 三角函数" 一章中，从内容到讲法，以及部分定理的证明，繁难的恒等变形、偏怪的例习题等，都大大地进行了删减。这样处理，一方面是为了保证三角函数的主要内容能够掌握好，同时也是为了更新知识，使得更有用的新内容能够进入中学数学课程里。

新编数学教科书更新了传统内容的讲法和部分数学语言。例如，比较广泛地使用集合语言、逻辑联结词、国家标准计量符号。使用向量处理某些传统内容，利用向量证明余弦定理等，既简捷又容易接受。按照《新大纲》的9（B ）方案，新教材中利用空间向量讲性质定理，某些直线与平面、平面与平面的位置关系问题，颇具特色，从而使教材具有新意。

新编数学教科书还注意引导教师更新教学手段。由于科学计算器已列为初中首选的计算工具，这就为高中用科学计算器处理复杂计算问题作好了过渡。新编教科书从计算指数幂开始，就比较广泛地要求使用科学计算器。另外，有条件的学校可以利用计算机和多媒体技术作为数学的辅助教学手段。例如，用计算机和多媒体技术演示几何图形运动变化规律，三角函数曲线周期变化规律等，既直观明了，又能反映变化的过程，对深刻理解数学基础知识都十分有好处。

2. 新课标教材更加重视处理知识的统一性和灵活性的关系，因而新教材具有层次性。

《新大纲》规定以必修课为主，实行必修课、选修课相结合的课程结构模式，为处理教材的灵活性提供了依据。新的高中数学教材为了处理好必修课与选修课的关系，既要注意培养全体高中生数学素养的需要，也要注意不同爱好和特长的特殊需要，既要注意必修课知识体系的完整，也要考虑到必修课时有限、学生的接受能力不尽相同，知识处理上不宜要求过高，不必过分追求体系完整、深化。而选修课是在共同的必修课基础上，针对学生不同需要、不同去向而分出的不同层次的课程，既注意了与必修课的衔接和配合，又有所区别。例如在必修课中，函数对所有学生来说内容相同，要求也没有差别，而在选修课中，文科学生与与理

科学生对函数的应用、函数变化率的内容和要求就大不相同。理科学生侧重讲微积分的基本概念、基本方法和初步应用，而文科学生则侧重基本思想和简单应用。又如在必修课中概率初步知识是共同的基础，在选修课中，理科学生在原有概率知识的基础上，要拓宽到离散型随机变量的分布列、期望值、方差，而文科学生只学习侧重应用的统计初步知识包括抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计和线性回归等。

教材为适应不同层次学生的不同需要，每章均安排了一至两个阅读材料，供学生课外阅读。内容涉及知识的延伸拓宽、知识的应用、数学发展的一些故事等。习题里有带*号的题目，作为基本要求的拓宽，供学生选用；复习参考题安排A 、B 两种题目，A 组题是复习巩固本章使用，B 组题是供学有余力的学生选用；小结与复习中安排有供教师教学选用的参考例题及学习要求等。这样为不同层次的学生提供了学习的空间，使教材更加灵活。

3. 新教材把多项数学内容综合编写为一门数学，有利于沟通知识的内在联系

依据《新大纲》规定，将精选出来的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识综合为一门数学课，不再分代数、立体几何、平面解析几何和微积分初步等几门开设。综合为一门数学课，这样处理教材：一是有利于精简教学内容，减少不必要的重复；二是有利于加强各部分知识间的相互联系；三是有利于数学思想方法的相互渗透。

4. 新教材更多的强调理论联系实际，更加关注对学生用数学只是解决问题的意识的培养 新教材更多的强调理论联系实际，更加重视数学知识的应用，也是《新大纲》强调的重点之一，新教材在加强用数学的意识方面也作了改进。理论联系实际是编写教材的重要原则之一。新教材把培养学生用数学的意识贯穿在教材编写的始终，教材的正文一般都注意从实际引入概念，从实际提出问题，例题，习题中多增加一些联系实际的内容。例如数列中联系经济生活中的储蓄，函数中联系增长率的变化，直线和圆的方程中增加线性规划初步知识，圆锥曲线中联系行星、卫星运行轨道等等。概率本身就是与实际问题联系非常密切的内容。在各章的章头图或阅读材料中，也注意提供有实际背景的问题。教材中还注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力。新编教材还注意使用数学语言表达问题，进行交流，形成用数学的意识。例如，讲线面关系时，注意用语言符号、图形来表达问题等。因此教材引导学生和教师在平时的学习和教学中一定要加强学生用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力。按照《新大纲》，新教材还加了四个" 实习作业" ，目的是应用所学数学知识，提高解决实际问题的能力，使学生在参与数学活动过程中受到训练和提高。此外，还增设了" 探究性课题" ，要求每学期至少安排一个课题进行研究，平均每个课题给3课时教学时间。

5. 新编材结合数学教材内容，关注思想品德教育

新编教材十分重视落实《新大纲》的精神，结合教材内容加强思想品质方面的教育。例如，结合函数概念的教学，突出实践理论实践等观点；结合直线、圆锥曲线方程的内容，突出运动变化，相互转化等观点；很多内容注意反映社会主义市场经济和我国社会主义建设的伟大成就，从而激发学生的民簇自豪感和爱国主义思想。

不足之处是：1、针对知识和技能的训练少、学生对基础知识和基本技能的掌握差的比例也在增加，教材例题的处理不好、习题偏容易，与高考这种选拔性考试有些脱节，致使高三学生复习时十分艰难，需要补充和拓展的内容很多，学生难于接受。

2、通过学习学生的空间想象力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，都有一半左右的教师认为“普遍降低”或“有些降低”，尤其是运算求解能力，学生明显越来越差。这与新教材倡导的各种能力的培养有些违背。

3、受升学、考试等的影响，尽管教师可能认可教材重视数学知识的学习过程，加强启发性及探究性的处理，但在实际教学中，往往难以落实，很多时候还是停留在“讲、练”的教学方式。

4、使用教材时大部分教师感到螺旋式上升不很实用，因此往往采用一步到位的做法，致使教学内容增加，学生负担和老师负担都在加重。

下面是我针对一节课的内容来阐述如何制定教学目标、设计数学教学过程，如何引导学生自主探究解决问题的。即数学教学设计

第二章直线与圆的位置关系

本章教材分析：

圆是学生比较熟悉的曲线，在初中几何课中就已学过圆的定义及性质．这节主要是用坐标的方法画圆———建立圆的方程．首先是根据圆的定义，建立圆的标准方程，进而研究圆的一般方程，并在此基础上，运用坐标法，探讨直线与圆、圆与圆的位置关系．由于圆是一种对称、和谐的图形，有很多优美的几何性质，因此，在运用坐标法解决问题的同时，充分利用了圆的几何性质．这节课的重点是圆的两种方程的求法及互化，直线与圆位置关系、数量关系的判定与求解．难点是对待定系数法、数形结合等方法的理解及灵活应用．

本章教学目标

1. 理解和掌握圆的标准方程和一般方程，并会熟练地进行方程的互化，能根据条件灵活选用适当的方法建立圆的方程．

2. 在直线的方程、圆的方程的基础上，用代数、几何两种方法研究直线与圆的位置关系．

3. 初步学会用待定系数法、数形结合法解决与圆有关的一些简单问题．

4. 能应用圆的方程解决一些简单的实际问题，培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力．

本章教学任务分析

圆是学生比较熟悉的一种曲线，建立圆的方程也比较容易．学习时，应根据问题条件，灵活适当地选取方程形式，否则，可能导致解题过程过于烦锁．在解决直线与圆、圆与圆位置关系问题时，要尽可能挖掘、应用关于圆的隐含条件，要注意数形结合、待定系数法的应用，特别是注意运用平面几何中学到的圆的性质。

具体一节教学设计：

课题：圆的标准方程

学情分析

解析几何是数学中的一大分支，它实际上是用代数的方法来研究几何问题的，而我们今天所学就是其中之一——圆。初中阶段我们已经从一个层面上了解了圆，诸如圆的一些特征：边心距、半径，垂径定理圆周角圆心角等，现在我们要从另外一个角度来对其加深学习。

教学目标

知识目标

使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．

能力目标

通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

情感态度价值观

圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

教材分析

重点

(1)圆的标准方程的推导步骤；

(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

难点

运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

教学方法

问答、讲授、设问、演板、重点讲解、

归纳小结、阅读

教学过程和问题设置

问题设置

问题设置意图

师生互动环节

问题1：

具有什么性质的点的轨迹称为圆？

复习定义

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)

问题2：在图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

复习圆的性质

圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：

为推导圆方程进行铺垫。

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y) 表示曲线上任意点M 的坐标，简称建系设点；

(2)写出适合条件P 的点M 的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；

(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

问题4：

你能用求曲线的步骤求曲线方程吗？

利用求曲线的步骤求圆的方程

师生共同探求：

学生自己建立坐标系，并较容易推导出圆的方程。

由于建系不同所得圆的方程也不同。

问题5：圆的方程的共同点是什么？从方程中如何得到圆的圆心和半径？

认识圆的方程的特点，借助方程识别圆心和半径

学生讨论，师生共同总结出：圆的标准方程

问题6：几个条件就可以确定圆的方程？

利用以下条件写出圆的方程：布置练习题

1、已知圆心和半径的；2、已知直径的；3、已知三个不共线的点的；4、与x 轴相切于某个点的；以及课本练习题

求圆的方程的方法

学生自己独立解决，小组交流，部分学生板演，师生汇总方法。

知识方法总结

条理知识和方法

学生思考总结

布置相应的作业

巩固知识

学生课余完成

下面对教材内容中与初中知识的衔接问题进行阐述：

新教材也十分重视教材中知识的整体性，注意与初中数学的衔接。其次要考虑与相关学科学习的配合，横向方面要与物理、化学、计算机等学科配合。物理、化学可以为数学学习提供背景、模型、数据等，而数学又可作为有关学科的学习工具，为其他学科学习提供准备。科学计算器已列入初中教学内容，有少数学校也将计算机课作为高中的选修课，在安排上要充分考虑与科学计算器的使用、计算机的学习内容相配合。

1、对于三个“二次”的延伸。初中涉及到二次函数、二次方程、二次不等式问题的初步，高中阶段对二次函数、方程、不等式进一步研究，相互转化，相互利用，更多的是含参数的二次问题，如何分类讨论作为研究的重点和难点，不过初高中对此部分内容的编辑上存在严重的青黄不接现象。

2、函数，初中接触到四类具体的基本初等函数，一次、二次、反比例函数和三角函数，但仅停留在具体的数值计算和简单性质的形象思维和认识，高中阶段则进一步研究函数的性质图像，而且从符号语言和图形语言上对文字语言进行抽象化认识，加大难度，增加的抽象性使学生往往很难适应，从而高一学生出现问题、两极分化严重。

3、圆、直线在初中也进行学习，只是停留在图形关系的证明和计算，突出的是图形之中的问题研究；而高中在此基础上运用代数的方法研究几何问题，即从平面几何过渡到平面解析几何，侧重的是方程和运算，而且还进一步学习了椭圆、双曲线以及抛物线。但在圆与直线问题中常常结合初中的性质解题。

4、统计与概率，在初中也有所接触，象方差、平均数、众数、中位数、频率分布直方图等

概念和计算，高中学生继续深入研究统计学的回归分析和假设检验等问题，关系十分密切。

5、立体几何在初中就已经认识到柱、锥、台体的直观图，体积面积计算公式，高中阶段进一步研究空间几何体线、面位置关系，距离和角度的计算。

可以说，高中阶段所学习的内容处处都与初中只是紧密联系，但是由于考试要求不同，许多知识点在初中淡化，而高中学习需要，从而高中没时间补，学生接受起来困难重重。

所以在教学中，教师应该有全局意识，整体把握，高中教师要全面了解初中教材，把高中知识和初中知识的衔接工作做好，要充分了解学生的知识和能力水平，从学生已有的知识能力入手，分解教材，变一步到位为分步逐渐提升，循序渐进，步步扎实推进，让学生体会成功感，逐步培养学好数学的信心和学习数学的兴趣。作为初中教师也要不论知识是否中考考不考，都应该了解高中教材，为学生的高中学习打下良好的基础，也就是要做好衔接工作。 其次，由于初中高中教学内容难易不同，学生的学习方法要适当改变，教师在新学期之初就应该对学生进行学法指导，而且要贯穿在高中教学的始终。培养良好的学习习惯，从简单的计算、画图和用数学语言表达开始，先要计算“准”，培养一次做对的能力，再要求“熟”，熟能生巧，熟练了解题速度才提上去，再就是要“规范表达”，杜绝乱写乱画，要条理表达，不省略，不跳步。培养学生读书说话能力，指导学生对所学知识进行梳理的习惯。