导数判断单调性20120206
导数判断单调性20120206
函数单调性复习:
对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 ，那么函数f (x ) 就是区间I 上的 函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 ，那么函数f (x ) 就是区间I 上的 函数. 导数公式复习（8个）： C ' = ；(x n )' =(sinx )' =；(cosx )' =；(lnx )' =；(loga x )' =；(e x )' =(a x )' =； 合作探究：
探究一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线y =f (x ) 的切线的斜率就是函数y =f (x ) 的导数. 从函数y =x 2-4x +3的图像来观察其关系：
在区间（2，+∞）内，切线的斜率为 ，函数y =f (x ) 的值随着x 的增大而 ，即y '>0时，函数y =f (x ) 在区间（2，+∞）内为 函数；
在区间（-∞，2）内，切线的斜率为 ，函数y =f (x ) 的值随着x 的增大而 ，即y /
1. 一般地，设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y '>0，那么函数y =f (x ) 在这个区间内是增函数；如果在这个区间内y '
2、利用导数判断函数值的增减快慢：
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图象比较“陡峭”（向上或向下）；反之，若函数在这范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的慢，这时函数的图象比较“平缓”。
用导数求函数单调区间的三个步骤：
①求函数f (x ) 的导数f '(x ) . ②令f '(x ) >0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f '(x )
判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）f (x ) =x 3+3x ；（2）f (x ) =x 2-2x -3；
（3）f (x ) =sin x -x , x ∈(0,π) ；（4）f (x ) =2x 3+3x 2-24x +1.
练习题：1若f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a >0) 为增函数，则一定有（ ）
A ．b 2-4ac 0 D ．b 2-3ac >0 2. (A)（2004全国）函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）
3π5π
, ) D ．(2π,3π)
2222
3. (B)若在区间(a , b ) 内有f '(x ) >0，且f (a ) ≥0，则在(a , b ) 内有（ ）
A ．(,
π3π
) B ．(π,2π) C ．(
A ．f (x ) >0 B ．f (x )
4设f '(x ) 是函数f (x ) 的导数，y =f '(x ) 的图像如图所示，则y =f (x ) 的图像最有可能的是（ ）．
f '(x ) C D
5．设函数f (x
) 在定义域内可导，y =f (x ) 的图象如图1所示，则导函数y
=f '(x ) 的图象可能为（ ）
A C D B
6．已知函数y
＝xf ′(x ) 的图象如图(1)所示(其中f
′(x ) 是函数f (x ) 的导函数) ，下面四个图象中，
y ＝f (x ) 的图象大致是(
)
7. 函数f (
x ) =x 3-x 的增区间是8. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）f (x ) =x 3+x 2-x ； （2）f (x ) =3x +x 3；
.
9. 求证：函数f (x ) =2x 3-6x 2+7在(0,2)内是减函数.
10. 求函数y =x e 的单调递增区间. （2）设x ∈(0, +∞) ，求证：ln(1+x )
2
x
11. 如果函数f (x ) =ax 3-x 2+x -5在R 上递增，求a 的取值范围。
32
12. 函数f (x )=ax +bx +cx 在(0,1)上是增函数，在(-∞,0), (1, +∞)上是减函数，又f ' ⎪=
解析式；（2）若在区间[0, m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围。
⎛1⎫
⎝2⎭
3。（1）求f (x )的2