浅谈数学发散思维题的开发设计及在教学中的使用

高中数学发散思维题的编制及在教学中的使用

福建省仙游一中（351200）杨超拔 Tel:[1**********]

摘要：本文讨论了数学发散思维题的概念和有关理论，对数学发散思维题的主要类型的开发编制和相关例题做了具体的研究，最后针对发散思维题的教学提出三条具体的建议。

关键词：数学发散思维题；编制设计；教学使用

发散思维作为一个新的教研课题，在素质与创新教育全面推进的今天，已受到广大师生的高度重视。发散思维即求异思维、多向思维，它的图示是从一点出发，向思维空间发出的一组射线，犹如夜空中的一道道闪电，激发学生思维的火花。

运用发散思维思考问题时注重多途径、多方案，解决问题时强调举一反三、触类旁通，这与数学思维特性极其相似。数学史乃至科学史上的诸多重要发现源于发散性思维。因此在高中阶段，结合数学试题与教学，正确培养和发展学生的发散思维能力，是个很迫切的课题。

一、 数学发散思维题的有关理论

(一) 发散思维题的概念

所谓发散性思维问题，是相对于“条件单一，结论明确”的传统封闭问题而言。

目前尚未形成发散思维题的统一定义，主要有如下观点：

首先，将课本各章知识加以归纳概要，为引导学生展开发散思维奠定基础；之后，针对知识网络可进行思维发散的“结点”，运用数学中转化与化归、数形结合等思想方法，诱导学生逐步进入发散思维空间；最后，借助应用背景和具体实例，对学生进行多维度、多方向、多思、多变的解题辅导。从思维大发散的解题中，培养学生的探究能力，创新能力。

(二) 发散思维题的主要类型

题型发散，将由发散知识点出发的典型问题，变换其题型进行发散思维；

解法发散，通过一题多解，多题一解等方法进行发散思维；

变更命题发散，通过变更命题的形式，对原命题的条件和结论改变其一或两者

同时改变，进行发散思维训练；

迁移发散，是利用数式，图形在不同的数学分支中的不同含义与等价形式，把一个分支里的公式、定理、原则或方法，巧妙地迁移到另一个分支中，达到化难为易的目的。

综合发散，通过数学各分科之间的相互联系，数学与物理，化学等其他学科之间的联系来进行发散思维训练。

数学发散思维题的形式还包括逆向发散，构造发散等多种思维形式。

二、 数学发散思维题的编制设计

(一) 发散思维题的设计原则

高考数学科《考试说明》指出：“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重数学的科学价值和人文价值。重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，实现全面考查综合数学素养的要求。”因此数学发散思维题必须明确概念，强调基础，突出重点，加强综合，注重思想方法，强化能力培养，力求思维多向，方能取得积极成效。下面就数学发散思维题的命制提四个原则：

1、知识性原则。发散思维题的编制与使用应当有利于突出高中数学知识主体，

有利于引导学生理解所学知识的运用情境及其来龙去脉，有利于知识的融会贯通和熟练应用数学的强烈意识 。

2、转化性原则。能让学生观察、联想，深入挖掘题目中的隐蔽条件，联想有关公理公式进行类比转化，达到化繁为简、变难为易。将未知转化为可知，将可知转化为已知 ，最终至问题的解决。

3、科学性原则。题目本身在强调发散时，本身应该遵循科学性原则，揭示数学本质，强化思想方法。题目语言要叙述清楚，条件充分，制约严谨，有明确的要求，以便学生根据情境，分辨情况，迁移知识，得出结果。

4、创新性原则。发散思维题要加强对创新意识的考查，多开发研究型、探索型或开放型的题目。让学生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，寻求合适的解题工具。发散思维题的一个重要功能是为学生展现其创新意识、发挥创造能力开辟广阔的空间。

(二) 发散思维题型例举与分析

1、知识发散是基础，题型发散成载体

高中数学发散思维题的设计，应注重对数学知识的考查，离开基础知识，发散思维题犹如空中楼阁，无源之水。高考数学试题已形成“重基础、出活题、考能力”的格局，新课教学要重视定理的产生、形成、发展和深化的过程，高考复习要弄清各知识的内部结构和内在联系，形成诸如函数、不等式、数列、三角、圆锥曲线、排列组合、概率统计与导数等知识板块，尤其注重对各知识板块进行纵横联系，寻找共同点，发散点，从学科整体意义上建构知识的发散网络。

在这些知识发散点，交汇点设计题目，要体现对高中数学知识的整体把握与交叉综合，力求避免“单元割裂，专题独立”和“只见树木，不见森林”的不良现象。

例1函数f:|1,2,3| |1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有(D) （浙江2006年理数）

(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个

【说明】映射与函数的概念是一脉相承的，本题给学生以知识交汇发散的视觉，使相应的的数学语言和表达形式更加灵活多样，结合运用排列组合知识，能体现思维能力和分类讨论的思想，需要有一定的思维填密性。

对于例1的映射与函数的概念，结合新定义的线性变换知识，可命制如下试题：

例2设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射f ：V →V , a ∈V , 记a 的象为f (a ) 。若映射

f :V →V 满足：对所有a , b ∈V 及任意实数λ, μ都有f (λa +μb ) =λf (a ) +μf (b ) ，则f 称为平面M 上

的线性变换。现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，则f (0) =0

是平面M 上的线性变换；②对a ∈V 设f (a ) =2a ，则f ③若e 是平面M 上的单位向量，对a ∈V 设f (a ) =a -e ，则f 是平面M 上

的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a , b ∈V ，若a , b 共线，则f (a ), f (b ) 也共线。其中真命题是①②④（写出所有真命题的序号）（四川2009年理数）

【说明】从学科的内在联系出发，在知识的发散点设计试题是命题方向。本题将新定义的线性变换，与平面向量和映射的概念结合在一起，既体现了课改精神，又考查了综合运用知识解决问题的能力。题型载体是填空中的多重选择更有利于数学知识的交汇与融合，能考查学生多方面知识的运用水平。

2、一题多解展思路，策略巧妙意境高

在教学与考试中，多设置能用两种，三种甚至更多种解法的题目，能锻炼学生思维的发散性，积累解题经验，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。

例3求sin 10 sin 30 sin 50 sin 70的值

解法一，积化和差，是化简的重要方法，可先将其中两个积化为和差

原式= sin 30 ∙︒︒︒︒1⎡1⎡1︒ ⎤ ⎤ -cos 60-cos 40∙sin 70=-sin 70-cos 40sin 70⎢⎥⎢⎥242⎣⎦⎣⎦

()=-sin 70+1

81sin 110 +sin 30

8()=1 16

解法二，若将原式利用互为余角的余函数，则其角之间依次成为倍角关系，便可连续逆用正弦二倍角公式进行化简

1sin 160 1cos 80cos 40cos 20sin 2011原式=cos 80︒cos 60 cos 40 cos 20 = ==2sin 20 2sin 20 16

sin 2α解法三，若利用公式变形sin α=也可将原式化简求值 2cos α

sin 20 1sin 100 sin 140 1cos 70 cos 10 cos 50 1==原式= 2cos 10 22cos 50 2cos 70 28cos 10 cos 50 cos 70 16

【说明】一题多解试题无非两种类型：一是用在数学的不同分支中的不同视觉寻找不同的方法，二是用同一分支中的不同公式，定理突破多种的解题入口，本题正是属于后一类型。在一题多解，策略多样的训练中，让学生的思维“散”在广阔性和深刻性中。

3、变更命题求发散，举一反三应用广

变更命题的条件，结论或形式，而命题的实质不变。通过这种试题形式的编制，能够引导学生不断根据变化了的情况积极思维，归纳概括，多方向地揭示命题本质。这样可提高学生举一反三、触类旁通的能力，这也正是思维的变通性得到培养和发展的具体体现。

例4过抛物线y 2=2px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y 1, y 2，求证y 1y 2=-p 2.

对这道题进行发散联想, 引申和改造, 可以得到综合性强、形式新颖的命题：

变式1：设抛物线y 2=2px 上两个动点A 、B 的纵坐标分别为y 1, y 2，且y 1y 2=-p 2，求证直线AB 经过焦点；

变式2：设M (a , 0) 是抛物线y 2=2px 对称轴上的一个定点，过M 的直线交抛物线于A 、B 两点，其纵坐标分别为y 1, y 2，求证y 1y 2为定值；

变式3：设抛物线y 2=2px 上两个动点A 、B 分别为，且满足y 1y 2=n （n （x 1, y 1), (x 2, y 2）

为常数），问直线AB 是否恒过某一定点？

4、信息迁移为探究，深挖广拓激思维

信息迁移发散题已是备受关注的创新题型，此类题目的编制一般是将较为陌生的数学情境展现出来，要求考生在阅读理解的基础上及时捕捉和利用题设中的信息，结合原有所学知识做出判断、推理、类比等发散思维的新题型。近年来，具有高等数学背景的一些数学信息迁移题频频出现，也是进行迁移发散思维训练的一种有效形式。

sin x sin x x 2x 4x 6

=0 =1-+-+ 对x ∈R 且x ≠0恒成立，方程例5已知展开式x x 3! 5! 7!

x 2x 4x 6x 2x 2x 2

+-+ =(1-2)(1-22) (1-22) , 有无究个根±π, ±2π, ±n π, , 则1-3! 5! 7! n 2πn π

比较两边x 2111π2

. 设代数方程的系数可以推得1+2+2+ +2+ =23n 6

1-a 1x 2+a 2x 4- +(-1) n a n x 2n =0有2n 个不同的根：±x 1, ±x 2, ±x n ，类比上述方法可得a 1=111（龙岩市2011年一级达标校联考） ++... +. （用x 1, x 2, , x n 表示）22x 12x 2x n

【说明】解答本题需要敏锐的观察、猜想和类比逻辑推理能力。思维发散到初中学过的f (x ) =ax 2+bx +c =a (x -x 1）(x -x 2) ，问题不难解决。

例6 “点动成线，线动成面，面动成体”。

图，x 轴上有一条单位长度的线段AB ，沿着

其垂直的y 轴方向平移一个单位长度，线段扫如与过的区域形成一个二维方体（正方形ABCD ），再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z 轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体（正方体ABCD -A 。请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维1BC 11D 1）

方体有m 个顶点，n 条棱，p 个面，则m , n , p 的值分别为 16,32,24 ．（三明市2011年高三质检）

【说明】可以发现：点平移后得到一个新的点，平移的过程形成一条新的棱；线段平移可得到一条新的棱，平移过程可以形成一个新的面；面平移后可以形成一个新的面，平移的过程可形成一个三维体。空间维度在发散，思维也在发散。本题对迁移发散思维的激发，达到必要的深度。

5、构“形”造“数”真功夫，高屋建瓴活解题

构造是一种极富技巧性和创造性的思维，通过构造，可激发学生的发散思维，打破常规，另辟蹊径使问题得到巧妙解决。比如向量具有代数形式和几何直观的双重身份，构造合适向量，可巧妙得给出一些不等式的证明。编制题目如下：

例7：设a , b 为不相等的实数，f (x ) =+x 2，求证：f (a ) -f (b )

分析：构造向量p =(1, a ). q =(1, b ), a , b 为不相等的实数，因此向量p , q 不共线，p -q =(0, a -b ), 根据p -q ≤p -q ，且p , q 不共线，所以+a 2-+b 2

三、几点思考

数学发散思维题由于思维的多向性，解题的多样性，往往费时间，在目前的教学模式下，要广泛使用此类试题，还存在诸多问题。为此，笔者就实际教学中如何使用数学发散思维题提几点建议：

1、创设情境，选择时机，营造发散思维大课堂

利用发散思维题进行课堂教学的过程是学生主动构建，积极参与的过程。教师在教学中应创设情境，引发思维，实行开放式教学，逐步引导学生探究新的知识和方法。但平时课堂内容多，时间紧，不可能大量使用发散思维题，因此教师要注意时间的合理安排，在适当时候以适当方式渗透发散思维。

2、在练习选编上，改造题目进行发散思维训练

为了让学生在解题时有更广泛的思维空间，尝试改造常规题目，打破模式化，使学生不是依靠简单模式来解题，比如把条件结论完整的题目改造提出条件，先猜结论再进行证明的形式；也可以先给出结论，让学生探求条件；或将题目的条件，结论进行拓广，演变，形成一个发展性问题。如此种种，无疑将促使学生从全新的角度去认识问题，起到启迪、培养发散思维能力的作用。

例如，复习课上给出这么一道题：

在锐角△ABC 中，求证：sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C 。

△ABC 为锐角三角形∴A +B >ππ

22, >A >π⎡π⎤-B >0，又 y =sin x 在⎢0, ⎥上是增函数，2⎣2⎦

∴sin A >cos B 。同理：∴sin B >cos C , sin C >cos A . 故所证不等式成立。

由这道题改造发散成另外一命题：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦之和小于这个三角形的周长的一半。

用上道题的结论：sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C 做条件，只需证明

1a b c a +b +c sin A +sin B +sin C =a +b +c ) 即可。显然===2，即，∴2sin A sin B sin C sin A +sin B +sin C

1sin A +sin B +sin C =a +b +c ) 2

3、组织发散性思维训练，要把握学生的认知水平

教师在使用发散思维题，从内容到形式再到方法，都要重视学生的认知水平。在高一，教师的主导作用可以多些，在高二、高三，随着知识增加和能力提高，学生的发散思维也在不断增强，教师可逐步放手让学生自己去发现和解决问题，并且坚持下去。教师在教学过程要起积极引导作用，引导学生对发散思维题的条件和答案作出深层次的比较和评价，试着发现条件、答案间的逻辑关系，对各种解答的正确性作出判断并给出必要的论证，进行必要的修改或推广，以及深刻领会题目的内涵与外延。

结语

发散思维题已为广大教师和命题者所重视，随着新课改的进一步推进，数学发散思维题会越来越丰富。有科学家总结：创造力=知识量+发散思维力。由此可见发散思维能力的重要性。数学发散思维题的编制与在教学中的广泛应用，必定对未来的创新人才培养产生广泛深远的影响。

参考文献

[1]王辉. 探求理想的教学[M].北京：中国言实出版社，2008.

[2]熊斌. 解题高手[M].上海：华东师范大学出版社，2006.

[3]希扬. 发散思维大课堂[M].龙门书局,2006.