2015初中数学基础知识讲义-有理数

一、正数和负数的定义

0的数叫做正数。根据需要有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。 -”的数叫做负数。负数前面的负号“-”不能省略。

eg ：-a 不一定是负数，因为字母a 可以表示任何数，当a 是正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 则是一个正数，而不是负数；当a 表示0时，-a 就是在0前面加上一个负号，仍是0,0不分正负。 (2)具有相反意义的量

正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。 常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。

(3)0的意义（重点理解）0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已经不仅是表示“没有”。

1

1、(2013山东德州) －1, 0， 0.2， ， 3 中正数一共有 个

7

2、（2013广西玉林市）既不是正数也不是负数的数是

3、（2013浙江丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ） A . －3℃ B . －2℃ C .+3℃ D .+2℃ 4、（2014浙江宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4框杨梅的总质量是（ ）

(1)正整数、0 注：（1）正整数、0 （2 （3）对于小数，只有能化成分数的小数才是有理数。

（4）我们把有限小数和无限循环小数 都看做分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。 （5）无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数，所以就不是有理数。

按数的种类分 按有理数的性质分

⎧⎧正整数⎧

⎧正整数⎪⎪正有理数⎨⎪整数⎨0⎪⎩正分数⎪⎪⎪⎪负整数 有理数0有理数⎨ ⎨⎩

⎪⎧负整数⎪⎧正分数负有理数⎨⎪

分数⎨⎪

⎩

负分数⎪⎪⎩⎩负分数⎩

注：（1）有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。（2）0 （3）0（4）0 （5）0

13

1、下列个数中：-3，-，-0.70，1中负分数有

25

自然数有 个

2、（宁波）下列各数是正整数的是（ ） A．－1 B ．2 C．0．5

D．

1

3

1111

3、（上海）如下列分数中，能化为有限小数的是（ ） (A) (B) ； (C) ； (D)

3579

4、（东阳县）

3

是（ ） A

．负整数 7

B．有理数 C．整数

D．负数

三、数轴的概念

(1)规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 (2)数轴的画法（重点）

画数轴时，关键要体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 (3)数轴上的点与有理数的关系（重点、难点）

一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个长度单位；表示数-a 的点在原

点的左边，

与原点的距离是a 个长度单位。

(4)利用数轴比较大小（重点、难点）

1

、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大

2、有理数大小比较法则：（1）正数都大于0 （

2）负数都小于0 （3）正数大于负数

1、如下图所示，数轴中正确的是（ ）

0 1

A B C

2、（重庆潼南）如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a 、b ， a 、b 的大小关系为

－1

D

b

3、（2013江苏泰州市）如图，数轴上的点P 表示的数是－1，将点P 向右移动3个单位长度得到点P ’，则点P ’表示的数是：

四、相反数

(1)相反数的概念：

在数轴上与原点的距离相等，且只有_______的两个数，我们称它们互为______。规定：零的相反数是_______。 概念的理解：

（1）互为相反数的两个数分别在原点的______，且到原点的_____相等， （2）一般地，数a 的相反数是 ______，

（3）在一个数的前面添上“—”号，就表示这个数的相反数。

(2)多重符号的化简：化简双重符号的规律可简述为：同号得“ ”，异号得“ ”。

例如：化简：—（+10）= （2） - 0 = （3）—（—20）= （4）+（+3）= （5）+（—0.15）

=

1、（2014云南昆明）

111

的相反数是（ ） A. B. - C. 2 D. -2

222

11

C .3 D . - 33

3、（本溪中考) 如果a 与1互为相反数，则a+2等于（ ） A．2 B．-2 C ．1

2、（2013福州）3的相反数是（ ） A ．－3 B .

D ．-1

五、绝对值：

a a (1)数轴上，表示____________________________叫做这个数的绝对值。 －5的绝对值记作：|－5|；

(2)绝对值法则：

① 正数的绝对值是___________； ② 0的绝对值是____； ③ 负数的绝对值是_________________。 想一想：= 0. 6= 23⨯4－92= （3）含有字母的绝对值的化简求值（重点、难点）

化简绝对值要分两步走，即“先判后去”——先判断这个数是正数、零还是负数，再由绝对值的意义确定去掉绝对值的符号的结果是等于它本身还是等于它本身的相反数或零。

1、（2014云南省）|﹣|=（ ） A．﹣

B． C．﹣7 D．7

D ．

2、（2014舟山）﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3 B．3 C．

1

3

3、（2014四川泸州）已知实数x 、y 满足x -+y +3=0，则x +y 的值为（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4D ．4

4、已知|a |=3，则a 的值为（ ） A.3 B. -3 C±3. D. 以上答案均不正确

六、有理数的大小比较

★在数轴上，越在右方的数________ (1) 负数小于____，0小于______，负数小于_____数；(2) 两个正数，应用已有的方法比较（绝对值大数大）； (3) 两个负数，绝对值大的

___________.

1、（2014广东）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（ ）A ．1 B．0 C．2

2、（2014武汉）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（ ）A ．-2 B．0 C．2D ．3

3、（2014菏泽）比﹣1大的数是（ ）A ．﹣3 B．﹣4、（ 2014珠海）比较大小：﹣2 ﹣3．

C．0

D ．﹣1

D ．-3

七、有理数的运算

（1）有理数的加法

1、把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法。 2、两个有理数相加，有以下几种情况：

①两数都是正数；②两数都是负数；③两数异号，即一个是正数，一个是负数； ④一个是正数，一个是0；⑤一个是负数，一个是0；⑥两个数都是0. （2）有理数的加法法则 1、有理数的加法法则共有4条：

★一个数同0相加，仍得这个数 总结：有理数加法的运算步骤 ①先判断属于法则中的哪种类型； ②再依法则判断和的符号； ③判断利用绝对值的和还是绝对值的差进行计算． 上述步骤可以概括为：“一定二求三加减”

1、（2014武汉）计算：﹣2+（﹣3）=

2、（2014遵义）﹣3+（﹣5）的结果是（ ） A．-2 B．-8 C．8D ．2

3、（2013安徽）下面的数中，与－3的和为0的是 （ ） A .3 B . －3 C . （3）有理数的减法

1、有理数的减法，就是已知两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

2 3、任意两个数都可以进行减法运算。

4、几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分构成：（1）性质符号；（2）数字即数的绝对值。 5、有理数的减法法则

11

D . - 33

a 、b 表示任意有理数。

1、（2013黔东南）计算－1－2等于（ ） A 、1 B 、3 C 、－1 D 、－3

2、（2013山西）计算：﹣2﹣5的结果是（ ） A ．﹣7 B ． ﹣3 C ．3 D ．7 3、（2013珠海）计算

11

-＝32

4、（2014台湾）算式743×369﹣741×370之值为何？( ) A．﹣3 B ．﹣2 C．2 D ．3

（3）有理数的乘法 ★有理数乘法法则：

① 同号两数相乘得正，并把绝对值相乘。（两个负数相乘简称：负负得正） ② 异号两数相乘得负，并把绝对值相乘。 ③ 0乘以任何数还得0。 ★多个有理数连乘，

① 如果奇数个负数，积得负； ② 如果偶数个负数，积得正。

（4）有理数的除法 因为：除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以有理数除法的商的符号确定的方法和乘法一样。 （5）有理数的乘方

3a ⋅a =a 2，读作a 的平方（或二次方）． a ⋅a ⋅a =a ，读作a 的立方（或三次方）．

a ⋅a ⋅a ⋅a =a 4，读作a 的四次方．

n

一般地，n 个相同的因数a 相乘：记作：a ⋅a ⋅a ⋅a

a =a n

a n 读作a 的n 次方，或者读作a 的n 次幂．

求n 个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的结果叫做幂．

★一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，5=5（指数1通常省略不写） ★负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ★正数的任何次幂都是正数． 练一练(3)

1= 1= 1= 1= 1= 0=

1

2

3

4

n

n

1

(-1)2= (-1)3= (-1)4= (-1)5= (-1)2012= (-1)2013=

★

(-1)

偶数

= ★(-1)

奇数

=

（6）有理数的混合运算

到目前为止，对有理数来说，我们学过的运算有：加、减、乘、除、乘方； 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减。如果右括号，先算括号里面的。

1、（2014安徽省）计算（－2）×3的结果是（ ） A . －6 B .6 C . －5 D .5

2、(2014年天津市) 计算（﹣6）×（﹣1）的结果等于（ ） A．6 3、（三明中考）如果□⨯(-) =1, 则□内应填的实数是（ ） A．-

B．﹣6

C．1 D．﹣1

3232

B．- C ． D．

2323

1-23﹣2

4、(2013江苏苏州) 计算：2= （2014四川绵阳）2= （2014陕西) 计算：(-)

3

32

（7）近似数与有效数字 1. 准确数：完全符合实际的数。

近似数：和准确数非常接近的数，近似数和准确数接近的程度叫做精确度。

2

所有的数字都叫做这个数的有效数字。 3. 近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。 4. 近似数和有效数字的确定方法

①对一般数字的近似数有两个原则：一是非零数字都是有效数字；二是前面的“0”都不是有效数字，夹在非零数字中间的“0”和后面的“0”都是有效数字。

②对带有计数单位的近似数，方法同上，如1.2万，同有两个有效数字1、2，而不是5个有效数字1、2、0、0、0。 （8）科学记数法

1、科学计数法：把一个绝对值大于

10

，这种计数的方法就是科学计数法。 2、用科学计数法计数时应注意：

①不能改变数的大小；

③1≤ |a |

1、（2013贵州铜仁）从权威部门获悉，中国海洋面积是299.7万平方公里，约为陆地面积的三分之一, 299.7

万平方公里用科学计数法表示为（ ）平方公里（保留两位有效数字）

A ．3⨯106 B ．0. 3⨯107

C ．3. 0⨯106 D ．2. 99⨯106

2、（2013四川资阳市）为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为 毫克/千瓦时． 3、（2014贵州黔西南州）20140000用科学记数法表示（保留3个有效数字）为 ．

4、（2014衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。我国新修订的《环境空气质量标准》中

2.5微米即0.0000025增加了PM 2.5监测指标，“PM 2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物。

米。用科学记数法表示0.0000025为（ ）

A ．2.5⨯10-5 B．2.5⨯105 C．2.5⨯10-6 D．2.5⨯106

5、（2014随州）2013年，我市以保障和改善民生为重点的“十件实事”全面完成，财政保障民生支出达74亿元，占公共财政预算支出的75%，数据74亿元用科学记数法表示为（ ）

A ．74×10元 B．7.4×10元 C．7.4×10元 D． 0.74×10元

6、（2014山西）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm 用科学记数法可表示为（ ） A ．2.5×10m B．0.25×10m C． 2.5×10m D．25×10m

﹣5

﹣7

﹣6

﹣5

8

8

9

10

1、（2013陕西）如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下7 ℃可记作（）

A ．－7 ℃ B ．+7 ℃ C ．+12 ℃ D ．－12 ℃

2、（2013南京市）下列四个书中，是负数的是（ ） A .|－2| B . （－2） C . －2 D . (-2) 2

2

3、（2013浙江衢州）下列四个数中，最小的数是( )

A .2 B . －2 C .0

D . -

1

2

4、（2013山东莱芜）如图，在数轴上点M 表示的数可能是（ ）

A ． 1.5 B ．－1.5 C ．－2.4 D ．2.4

5、（2014湖北宜昌）如图，M ，N 两点在数轴上表示的数分别是m ，n ，则下列

式子中成立的是（ ）

A ． m+n＜0 B ．﹣m ＜﹣n C ．|m|﹣|n|＞0 D ．2+m＜2+n

6、（2014呼和浩特）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）

A ．ac ＞bc B．|a ﹣b |=a ﹣b

C ．﹣a ＜﹣b ＜c D．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c

7、(2014重庆）实数﹣17的相反数是（ ） A．17 B．

C ．﹣17 D．﹣

8、（2014莱芜）下列四个实数中，不是有理数的为（ ） A．0 B．-3C ．

9、（2013浙江湖州市）－2的绝对值是（ ） A .2 B . －2 C . 10、（2013湖北襄阳）一个数的绝对值等于3，这个数是（ ） A ．3 11、(2013四川南充) 计算：2－（－3）的结果是（ ） A ．5 12、（2014毕节地区）计算﹣3的值是（ ） A ．9 13、（2013山东省聊城）计算-

2

D．

1

D .±2 2

B ．－3 C ．±3

1D ．

3

B ．1 C ．－1 D ．－5

B ．6 C ．－9 D ．－6

1112

-的结果是（ ） A . - B . C . －1 D .1

3333

14、（2013浙江嘉兴市）(-2) 等于( ) A .1 B .2 C .0 D －2

15、（2014年广东汕尾）在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，数字[1**********]用科学记数法表示正确的是（ ）（保留两位有效数字） A ．1.94×10

10

B ． 1.9×10

10

C ． 19.4×10

9

D ． 1.94×10

9

16、（2014德州）第六次全国人口普查数据显示，德州市常驻人口约为556.82万人，此数用科学记数法表示正确的是（ ）（精确到0.01）

A ．556.82×10 B．5.5682×10 C．5.57×10 D．5.5682×10

17、（2014邵阳）地球的表面积约为511000000km ，用科学记数法表示正确的是（ ）

18、（2014山东泰安）PM 2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．2.5×10

﹣72

4

6

6

5

B ． 2.5×10

2014

﹣6

C ． 25×10

﹣7

D ． 0.25×10

﹣5

19、（2014湖南怀化）计算：（﹣1）

= 20、（2014山东济南）-7-3=_____

21、（2014滨州）计算：-3⨯2+(-2) 2-5

22、（2014江苏淮安）若x -2y +9与x -y -3互为相反数，求x +y 的值

223、（2014河北）若实数m ，n 满足m -2+(n -2014) =0，求m +n 的值

-1