文科解三角形练习题及解答

开封高中2016届高一数学综合卷三

一、选择题

1. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A＝5sin B，则角C ＝( B )

π2π3π5πA. B. C. D. 3346

12. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A＝，则sin B＝( B ) 3

155 B. C. D ．1 593

3．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asin B＝3b ，则角A 等于( A )

ππππ C. D. 34612

14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b ，2

ππ2π5π且a>b，则∠B ＝( A ) B. C. D. 6336

ππ5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝，C ＝ABC 64

的面积为( B )A ．2 3＋2 B. 3＋1 C．2 3－2 D. 3－1

6． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( B )

A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1

7． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( A ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定

二．解答题

8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a＋b ＋c)(a－b ＋c) ＝ac.

(1)求B ；(2)若sin Asin C＝3－1，求C. 4

解：(1)因为(a＋b ＋c)(a－b ＋c) ＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 21＝－，因此B ＝120°. 2ac 2

(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos (A－C) ＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin

3－113C ＋2sin Asin C＝cos(A＋C) ＋2sinAsin C2×＝A －C ＝30°或A －C ＝－242

30°，

因此C ＝15°或C ＝45°.

9. 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上． 若OM ＝5，求PM 的长；

图1－6

解：在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM 5，OP ＝2 2，

由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0， 解得MP ＝1或MP ＝3.

10．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c. 已知cos 2A－3cos(B＋C) ＝1.

(1)求角A 的大小； (2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C的值．

解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C) ＝1，得2cos 2A ＋3cos A－2＝0，

1即(2cos A－1)(cos A＋2) ＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去) ． 2

π因为0＜A ＜π，所以A ＝. 3

1133(2)由S ＝bc sin A＝bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4. 2224

由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A＝25＋16－20＝21，故a 21.

b c bc 2035又由正弦定理得sin Bsin C＝sin A·＝sin 2A ＝a a a 2147

11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos

2πa 2B ＝1. 若C 的值． 3b

解：由题意得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin 2 B，

因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，

2π由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，所以c ＝2b －a ，由C ，及余弦定理得(2b－a) 2＝a 2＋b 23

＋ab ，

a 3即有5ab －3b 2＝0，所以. b 5

12． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c. 已知bsin A＝3csin B，a ＝

23，cos B＝3

(1)求b 的值；

π(2)求sin （2B － 3

a b 解：(1)在△ABC 中，由bsin A＝asin B，又由bsin A＝3csin B，可得sin Asin B

2a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2accos B，cos B＝b ＝6. 3

251(2)由cos B＝，得sin B＝，进而得cos 2B＝2cos 2 B－1＝－，sin 2B＝2sin Bcos B339

4 ＝9πππ4 5＋3所以sin2B －＝－. 33318

13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A

3＋C) 5

(1)求sin A的值；

→→(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．

3解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C) ＝－ 5

3得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－. 5

33则cos(A－B ＋B) ，即cos A＝－ 554又0

(2)由正弦定理，有a b ＝， sin Asin B

bsin A2所以，sin B＝＝. a 2

π由题知a>b，则A>B，故B ＝. 4

根据余弦定理，有

3， (4 2) 2＝52＋c 2－2×5c ×⎛⎝5解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去) ．

2→→→故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA|cos B＝2

14．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asin B＝ 3b.

(1)求角A 的大小；

(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．

a b 解：(1)由2asin B＝ 3b 及正弦定理＝ sin Asin B

π 3sin A＝. 因为A 是锐角，所以A ＝. 23

(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝

17 3由三角形面积公式S ，得△ABC 的面积为. 23

15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc.

(1)求A ；

(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B 的值．

b 2＋c 2－a 2－3解：(1)由余弦定理得cos A＝＝. 2bc 2bc 2

5π又因为0

1(2)由(1)得sin A＝，又由正弦定理及a 3得 2

11asin BS ＝·asin C＝3sin Bsin C， 22sin A

因此，S ＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)＝3cos(B－C) ．

π－A π所以，当B ＝C ，即B 时，S ＋3cos Bcos C取最大值3. 212