数学建模椅子问题
椅子能在不平的地面上放稳
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。
一、 模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2、 地面高度是连续变化的，沿椅子的任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3、 对于椅脚的间距和椅子脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只同时着地。
二、模型建立
中心问题是数学语言表
示四只同时着地的条件、结
论。
首先用变量表示椅子的
位置，由于椅脚的连线呈正
方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅
脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为f (θ)，B 、D 两脚与地面距离之和为g (θ)，显然f (θ)、g (θ)≥0，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知f (θ)、g (θ)至少有一个为0。当θ=0时，不妨设g (θ)=0, f (θ)>0，这样改变椅子的位置使四只同时着地，就归结为如下命题：
命题 已知f (θ)、g (θ)是θ的连续函数，对任意θ，f (θ)*g (θ)=0，且g (0)=0, f (0)>0，则存在θ0，使g (θ0)=f (θ0)=0。
三、模型求解
将椅子旋转900，对角线AC 和BD 互换，由g (0)=0, f (0)>0可知g (π2)>0, f (π2)=0。令h (θ)=g (θ)-f (θ)，则h (0)0，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，则存在θ0(0
四、评 注
模型巧妙在于用已知的元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转900并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形。