八年级数学竞赛辅导讲义
全国初中数学联赛
一 全国初中数学联赛简介
中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛,以及小学数学奥林匹克,都是群众性的数学课外活动,是大众化、普及型的数学竞赛,目前,每年有12万名学生参加。 竞赛简介
奖项名称:全国初中数学联合竞赛 创办时间:1984年
主办单位:由各省、市、自治区联合举办,轮流做庄 竞赛介绍:
同时,各地都提出了举行“全国初中数学联赛”的要求。1984年,中国数学会普及工作委员会商定,委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛,有14个省、市、自治区参加,当时条件较简陋,准备时间也较仓促,天津数学会在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下,极其认真负责地把这次活动搞得很成功,为后来举办“全国初中数学联赛”摸索了很多经验。 当年11月,在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时,一致通过了举办“全国初中数学联赛”的决定,并详细商定了一些具体办法,规定每年四月的第一个星期天举行“全国初中数学联赛”。会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、1986年、1987年的“全国初中数学联赛”承办单位,从此,“全国初中数学联赛”也形成了制度。
“全国初中数学联赛”原来不分一试、二试。为了更好地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针,1989年7月,在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上,各地的代表商定,初中联赛也分两试进行,并对一、二试各种题型的数目,以及评分标准作出明确的规定,使初中联赛的试卷走向规范化。
中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛,以及小学数学奥林匹克,都是群众性的数学课外活动,是大众化、普及型的数学竞赛,目前,每年有12万名学生参加。为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智,培养兴趣,充分发掘他们学习上的潜力,调动学习数学的积极性,我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。从1991年起,我们力求降低试题的难度。题目不难,又要有点意思,还要有竞赛气氛,要做到是不容易的。
所谓“联赛”,就是各省、市、自治区联合举办,轮流做庄,由各省、市、自治区数学竞赛组织机构具体承办,大家提供试题。
为了更好地规范初中数学竞赛的内容、难度,中国数学会制定了“初中数学竞赛大纲”,以“大纲”为准, 命题坚持“大众化、普及型、不超纲、不超前”的原则。
二 竞赛的意义
" 全国初中数学联赛" 是初中生初中阶段最为重要的竞赛之一,方式较为规范,也是许多高中入学考察的对象之一,因此,许多初中生为此而加紧培优,从某种意义上讲,这种为大众认可的竞赛提升了中国初中生的整体数学成绩。在北京,全国数学联赛的获奖成绩常常被作为人大附中、四中等重点高中提前录取的一个重要参考。
三 竞赛大纲
数学竞赛对于开发学生智力,开拓视野,促进教学改革,提高教学水平,发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化,为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展,应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特制定《初中数学竞赛大纲(修订稿)》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出:“要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是:“对学有余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发展他们的数学才能”,“要重视能力的培养„„,着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时,要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
四 参赛对象
全国在校初中生,采取自愿与学校推荐相结合的办法报名参加。
五 联赛题目结构
一试 70 分
选择6题,填空4题 (每题7分)代数 几何 数论 组合(一般选填压轴)
归纳知识点:实数化简;三角形的五心等方面是考察重点。但是其涵盖知识体系相对单一,有时候,选择题、填空题还是要用技巧性搞的;举特殊值;(08年的二次根式一题) 二试 70分
第一大题 一元二次方程和二次函数的互相转化、根的分布、整数根问题(冲刺奖项的必对大题)
第二大题 几何综合题(冲刺一等奖的必对大题)
考察点05 、06三线共点、梅涅劳斯、赛瓦、09几何计算 (四点共圆)、07,10 相似三角形. 几何方面应该多下功夫,争取能够拿下
第三大题 二试最后一题25分 以数论为基础和其他结合,思路清楚的话简单5分能拿下来
六 竞赛题型
全国初中数学联赛每年
4月举行,分为一试和二试。成绩公布的时间各省市不尽相同,北
京市公布时间大约在五月底至六月。
第一试着重基础知识和基本技能,题型为选择题6题、填空题4题,共70分。第二试着重分析问题和解决问题的能力,题型为三道解答题,内容分为代数题、几何题、几何代数综合题或杂题,共70分,两试合计共140分。 《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外,本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况,分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,并且要贯彻“少而精”的原则,处理好普及与提高的关系,这样才能加强基础,不断提高。
第一讲 实数的概念及性质
一. 知识链接:
1、实数的分类
有理数 零 (
q
, 这里p 、q 是互质的整数,且p ≠0.) p
负有理数 正无理数
无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一特点,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如7, 2等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如
π
3
+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001„等; (4)某些三角函数,如sin60o 等
3.有理数和无理数对加、减、乘、除的封闭的特性:
⑴ 有理数对加、减、乘、除是封闭的,即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数; ⑵ 无理数对加、减、乘、除不具有封闭性,即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.二.经典例题
【例1】解答以下各选择题:
(1). (99年武汉市选拔赛试题) 设a 是一个无理数,且a 、b 满足ab -a -b+1=0,则b 是一个( A.小于0的有理数 B.大于0的有理数 C.小于0的无理数 D.大于0的无理数
(2). (93年河北初中数学联赛)若a , ). A. 二者均为有理数 B. 二者均 为无理数
C. 一个为有理数,另一个为无理数 D. 以上三种情况均有可能 (3).(95年湖北初中数学竞赛) 今有四个命题:
⑴.若两实数的和与积都是奇数,则这两数都是奇数; ⑵.若两实数的和与积都是偶数,则这两数都是偶数; ⑶.若两实数的和与积都是有理数,这两数都是有理数; ⑷.若两实数的和与积都是无理数,这两数都是无理数. 其中正确命题的个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D.3
⑷.( 9 9年全国初中数学联赛) 有下列三个命题: ①若α, β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数;
)
α-β
是无理数;
α+β
②若α, β是不相等的无理数,则
③若α, β是不相等的无理数,则其中正确命题的个数是( ).
+β是无理数。
(A )0; (B )1; (C )2; (D )3。①①
【例2】(全国初中数学联赛试题) 若a 、b 满足3a +5b =7,则S =2a -3b 的取值范围是 .
【例3】已知a 、b 是有理数,且(+
13
119) a +(-) b -2-13=0,求a 、b 的值. 2412420
【例4】 解答以下两题:
(1) (南昌市竞赛题) 已知a 、b 为有理数,x ,y 分别表示5-的整数部分和小数部分,且满足axy+by=1,
求a+b的值.
(2) (江苏省竞赛题) 设x 为一实数,[x]表示不大于x 的最大整数,求满足[-77.66x]=[-77.66]x+1的整数
x 的值.
2
注: 设x 为一实数,则[x]表示不大于x 的最大整数,[x]又叫做实数x 的整数部分,有以下基本性质: (1)x-1
(2)若y
(3)若x 为实数,a 为整数,则[x+a]= [x]+ a. 【例5】( 第十三届“希望杯”试题) 已知在等式
ax +b
=s 中,a 、b 、c 、d 都是有理数,x 是无理数,解答: cx +d
(1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时,s 是有理数; (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时,s 是无理数.
三.经典练习
1.已知x 、y 是实数, 3x +4+y 2-6
y +9=0,若axy -3x =y ,则a= .
2. (2002年全国初中联赛题) 一个数的平方根是a 2+b 2和4a -6b +13,那么这个数是 . 3.方程x +y -5+y +18=0的解是 .
4.(济南市中考题) 请你观察思考下列计算过程:∵11=121,∴=11;同样∵111=12321,
7654321= . ∴=111;„由此猜想2
2
5.(江西省中考题) 如图,数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ,点B 关于点A 的对称点为C ,则点C 所表示的数是( )
A .2-1 B.1-2 C.2-2 D.2-2 6.( “希望杯”邀请赛试题) 已知x 是实数, 则x -π+π-x + A.1-
1
x -1
π
的值是( )
π
B.1+
1
π
C.
1
π
-1 D.无法确定的
7.( “希望杯”邀请赛试题) 代数式x +x -1+x -2的最小值是( ) A.0 B.1+2 C.1 D.不存在的
8.(山西省中考题) 若实数a 、b 满足(a +b -2) 2+-2a +3=0,求2b+a-1的值.
9.(烟台市中考题) 细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.
() 2+1=2,S 1=
2
;(2) 2+1=3,S 232=2;(3) 2+1=4,S 3=2
;„ (1)请用含有n(n是正整数) 的等式表示上述变化规律;
(2)推算出A 10的长;
(3)求出S 2+S222
l 2+S3+„+S10的值.
10.已知实数 a、b 、c 满足12a -b +b +c +c 2-c +1
4
=0,则a(b+c)= .
11.( “希望杯’邀请赛试题) 设x 、y 都是有理数,且满足方程(12+π3) x +(1π
3+2
) y -4-π=0,那么,
x -y 的值是 .
12.(黄冈市竞赛题) 已知正数a 、b 有下列命题: ①若a=1,b =1,则ab ≤1; ②若a =12, b =532,则ab ≤2
; ③若a =2,b=3,则ab ≤
5
2
; ④若a=1,b=5,则ab ≤3. 根据以上几个命题所提供的信息,请猜想,若a=6,b=7,则ab ≤ . 13. (重庆市竞赛题) 已知:
1a -a =1,那么代数式1
a
+a 的值为( ) A .
52 B.-2
C.- D.5 14.(“五羊杯”邀请赛试题) 设[x]表示最接近x 的整数(x≠n+0.5,n 为整数) ,则
[⨯2]+[2⨯3]+[⨯4]+„+[⨯101]的值为( )
A.5151 B.5150 C.5050 D.5049 15. (全国初中数学竞赛题) 设a
a +b
a -b
的值为( ) A. B.6 C.2 D.3 16. 若a 、b 、c 为两两不等的有理数,求证:
11(a -b ) 2
+
1(b -c ) 2
+
(c -a ) 2
为有理数.
17. (安徽省中考题) 某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量,当把铁块放在天平左盘中时,称得它的质量为300克,当把铁块放在天平的右盘中时,称得它的质量为900克,求这一铁块的实际质量. .
18.(泰州市中考题) 阅读下面材料,并解答下列问题:
在形如a b
=N的式于中,我们已经研究过两种情况: ① 已知a 和b ,求N ,这是乘方运算, ② 已知b 和N ,求a ,这是开方运算.
现在我们研究第三种情况;已知a 和N ,求b ,我们把这种运算叫做对数运算.
定义:如果a b
=N (a>0,a ≠1,N>0),则b 叫做以a 为底的N 的对数,记作b=loga N . 例如:因为23=8,所以log -31
128=3;因为2=8,所以log 28
=-3.
(1)根据定义计算:
①log 3 81= ; ②log 33= ; ③log 3l= ; ④如果log x 16=4,那么x= . (2)设a x =M,a y
=N ,则log a M=x;log a N =y(a>0,a ≠1,N>0,M ,N 均为正数) . 用log A M ,log A N 的代数式分别表示log a MN 及log M
a N
,并说明理由.
第二讲 二次根式的运算
一. 知识链接
1. 二次根式的定义和运算法则
式子a (a ≥0) 叫二次根式,二次根式的运算是以下列运算法则为基础. (1)a ±b c =(a ±b ) c (c ≥0) ; (2)a ⋅=ab (a ≥0, b ≥0) ;
a b
a
(a ≥0, b >0) ; (4) (b
2
(3)=
a ,(a ≥0) .
2. 二次根式有如下重要性质:
(1)a ≥0, (2) (a ) 2=a (a ≥0) ,|a |, (4) (a +b (m ≥0) (5)
x +y =a , xy =b ,(x >y >0)
同类二次根式,有理化是二次根式中重要概念,它们贯穿于二次根式运算的始终,因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,二次根式除法、混合运算常用到有理化概念.
二次根式的运算是在有理式(整式、分式) 运算的基础上发展起来的,常常用到有理式运算的方法与技巧,如换元、字母化、拆项相消、分解相约等
二. 经典例题
【例1】(重庆竞赛题) 已知y =
【例2】(武汉选拔赛试题) 化简+
1n 2
+
1(n +1) 2
x 2-2
-5x -4x 2-2
+2,则x 2+y 2= . 4-5x
,所得的结果为( )
11111111
A.1++ B.1-+ C.1+- D.1--
n n +1n n +1n n +1n n +1
; (2【例3】计算: (1
) (3)
13++
153+3+
17+5+ +
1
4947+4749
+4+32(+3)(+2)
;
; (4)
3--26+3-2+18
+2+1
.
【例4】解答以下各题:
(1) (北京竞赛题) 化简4+23+4-2;
(2) (“希望杯”试题) 计算10+83+22
(3) (湖北“英才杯”竞赛题) 计算a +2a -1+a -2a -1.
1
【例5】(山东竞赛题) 已知a +b -2a -1-4b -2=3c -3-c -5,求a +b +c 的值.
2
三. 经典练习
1.(四川竞赛题) 如果y =2x -3+-2x +2,那么x +2y = . 2.(成都中考题) 已知xy =3,那么x
y x +y x y
的值为 . 3.(天津选拔赛试题) 计算(+1) 2001-2(3+1) 2000-2(+1) 1999+2001= .
4.(淄博中考题) 若 ab≠0,则等式--a b
5
=
1b
3
-ab 成立的条件是 .
5.(徐州中考题) 如果式子(x -1) 2+x -2 化简的结果为2x -3,则x 的取值范围是( ) A.x ≤1 B.x ≥2 C.1≤x ≤2 D.x >0 6.如果式子(1-a ) -
1
1-a
根号外的因式移入根号内,化简的结果为( ) A.-a B.a -1 C.-a -1 D.--a 7.已知x -2xy +y =0(x >0, y >0) ,则
3x -xy +y 的值为( )
5x +3xy -4y
A .1133
B.2 C.2
3 D.4
8.已知a =1
a 2-1a 2-22+,那么a +1-a +1a 2-a 的值等于( ) A .-(1+23) B.-1 C.2- D.3
9.计算以下各题:
(1)⨯2000⨯2001⨯2002+1;
(2)(北京数学竞赛题)
3-22+5-26+7-2+9-220+-230+-242+-2+-72 ;
(3)
+57+467+77++42
;
(4)(“希望杯”试题)
(-)(-2001) +
(-)(-2001) +
(2001-) (-)
10.(1)已知9+与9-的小数部分分别是a 和b ,求ab -3a+4b+8的值;
(2)设x =n +1-n 1+n n +1+n
,y =
n +n +1-n
,n 为自然数,如果2x 2+197xy +2y 2=1993成立,求n .
11.(T1杯全国初中联赛题) 已知x =3-23+2
,y =
3+2x 3-2
,那么
y x 2
+
y 2
= .
12. (北京竞赛题) 若有理数x 、y 、z 满足x +y -1+z -2=
1
2
(x +y +z ) ,则(x -yz ) 2= .
13. 设27-2=a +b ,其中a 为正整数,b 在0,1之间,则a +b
a -b
= .
14. (北京竞赛题) 正数m 、n 满足m +4mn -2m -4n +4n =3,则m +2n -8m +2n +2002
= .
15. (全国初中联赛题) 化简23-22+-2等于( )
A.5—4 B.4一1 C. 5 D.1 16.(武汉市选拔赛试题) 若-x =1+x ,则(x -1) 2等于( )
Ax -1 B.1-x C.1 D.-1
17.计算以下各题: (1)(“希望杯”竞赛题) 2+-3+2--230-62+43
; (2)(山东竞赛题)
85+3-2
;
(3)(四川赛题) 112+12
+
32+23
+ +
1
99+99;
(4)2(6-23-2+) ;
(5) (新加坡中学生数学竞赛题)
+2+
-2
-3-22.
5+1
18.(“祖冲之杯”邀请赛试题) (1)求证 a 2
+
12b 2
+
a (ab +1) 2
=a +
1a
b -
ab +1
;
(2) 计算
19.(上海竞赛题 ) (1)定义f (x ) =1
1) +f (3) + +f (2k -1) +f (999) 的值;
x 2+2x +1+x 2-1+x 2
,求f (-2x +1
(2)设x 、y 都是正整数,且使x -116+x +100=y ,求y 的最大值.
第三讲 勾股定理及其应用
一. 知识链接
1、勾股定理: 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即a 2+b 2=c 2
2、勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足不定方程a 2+b 2=c 2的三个正整数a ,b ,c ,称为勾股数。 如果勾股数a 、b 、c 满足(a, b, c)=1,则a 、b 、c 叫做基本勾股数组。
性质1. 如果a 、b 、c 是一组勾股数,则ka 、kb 、kc(k是正整数) 也是一组勾股数。
性质2. 若a 、b 、c 是一个基本勾股数组,则a 、b 、c 不能同是奇数,也不能同是偶数,c 不能为偶数。 性质3. 不定方程a 2+b 2=c 2的基本勾股数组解a 、b 、c 且a 是偶数的公式为a =2mn , b =m 2-n 2, c =m 2+n 2. 其中m >n >0,(m , n ) =1, m 和n 中一奇一偶。(罗士琳法则)
k 2-1k 2+1性质4. 如果k 是大于1的奇数,那么k , ,是一组勾股数.
22
⎛k ⎫⎛k ⎫
性质5. 如果k 是大于2的偶数,那么k , ⎪-1, ⎪+1是一组勾股数.
⎝2⎭⎝2⎭
常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5, ,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)„„
规律:
(1)短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇
2
数且a <b 时,如果b+c=a那么a,b,c 就是一组勾股数. 如 ( 3, 4, 5)(, 5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)„„
22
(2)大于2的任意偶数,2n(n>1) 都可构成一组勾股数分别是:2n,n -1,n +1 。如:(6,8,10)(8,15,17)等。 4、常见题型应用:
(1)已知任意两条边的长度,求第三边/斜边上的高线/周长/面积„„
(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积„„
222222222
(3)判定三角形形状: a +b>c 锐角~,a +b=c直角~,a +b<c 钝角~ 直角三角形判定方法:
①. 找最长边; ②. 比较长边的平方与另两条较短边的平方和之间的大小关系; ③. 确定形状 (4)构建直角三角形解题
22
二. 经典例题
【例1】(山东省中考题) 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示) .如果大正方形的
2
面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a ,较长直角边为b ,那么(a+b)的值为( ) A.13 B .19 C.25 D.169
B
例1图 例2图 例3图
B
【例2】(重庆市中考题) 如图,以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ,连结DC ,以DC 为边作等边△DCE ,B 、E 在CD 的同侧,若AB=2,则BE= .
【例3】(“祖冲之杯”邀请赛试题) 如图,P 为△ABC 边BC 上的一点,且PC =2PB , 已知∠ABC =45°, ∠APC =60°,则∠ACB 的度数= .
【例4】 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,设AC =b ,BC =a ,AB=c,CD=h.求证:
111
(1) 2+2=2;
a b h
(2) a +b
c +h ;
(3) 以a +b 、h 、c +h 为边的三角形,是直角三角形.
A
【例5】. (1) (90年全国初中联赛试题)△ABC 中,AB =AC =2,BC 边有100个不同的点P 1,
2P 2,„,P 100,记m i =AP +BP i C ( i =1,2,„,100) 则 m 1+m 2+
„+m 100= i i ·P
第(1)题图 第(2)题图 第(3)题图
(2)(97年全国初中联赛试题)如图:已知∠A=∠B ,AA 1,PP 1,BB 1均垂直于A 1B 1,AA 1=17,PP 1=16,BB 1=20,A 1B 1=12,则AP +PB 等于( ) A .12
(3)(第七届希望杯初二试题) . 如图,P 是等边三角形ABC 中的一个点,PA=2,PB= 则三角形ABC 的边长为
B.13 C.14
D .15
三. 经典练习
1.(山西省中考题). 如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=45°,把△ACD 沿AD 对折,点C 落在点C ′的位置,则
BC ′与BC 之间的数量关系是 .
第1题图 第2题图 第3题图
2.如上图,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△ACP' 重合,若AP =3,则 PP ′的长等于 .
3.(武汉市选拔赛试题) 如上图,已知AB=13,BC=14,AC=15,AD ⊥BC 于D ,则
AD= .
4. 如下图在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D =90°,BC=2,CD=3,则AB=( ) A.4 B.5 C.23 D
.
83
3
B
第4题图 第5题图
5.(北京市竞赛题如上图) 在由单位正方形组成的网格图中标出了AB ,CD ,EF ,GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )
A.CD ,EF ,GH B.AB ,CD ,EF C.AB ,CD ,GH D.AB ,EF ,GH
6.(湖北省预赛试题) 如下图,在△ABC 中,AB=5,AC=13,边BC 上的中线AD=6,则BC 的长为 .
B
第6题图 第7题图 第8题图
7.(天津市竞赛题) 如上图,用3个边长为l 的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )
55
C. D.
1642
8.如上图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,AF 平分∠CAB 交CD 于E ,交CB 于F ,且EG ∥AB 交CB
A . B.
于G ,则CF 与GB 的大小关系是( )
A . CF>GB B. CF=GB C.GF
9.(“祖冲之杯”邀请赛试题) 在锐角△ABC 中,已知某两边a=1,b=3,那么第三边的变化范围是( ) A .2
10.(武汉市选拔赛试题) △ABC 三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ,这三边的高依次为h a 、h b 、h c ,若
a ≤h a ,b ≤h b ,则这个三角形为( )
A
.等边三角形 B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形
11.如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,D 为斜边BC 中点,DE ⊥DF
,求证:EF 2=BE 2+CF 2.
B
12.如图,已知△ABC 是等腰直角三角形,AB =AC ,D 是斜边
BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且DE ⊥DF ,若BE=12,CF=5,求△DEF 的面积.
B
22
13.如图,在△ABC 中,AB=AC,(1)若P 是BC 边上的中点,连结AP ,求证:BP ×CP=AB一AP ; (2)若P 是BC 边上任意一点,上面的结论还成立吗? 若成立,请证明,若不成立,请说明理由; (3)若P 是BC 边延长线上一点,线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系? 请证明你的结论.
B
3
,求AC 的长. 2
14.(河南省竞赛题) 如图,∠ACB=90°,AD 是∠CAB 的平分线,BC=4,CD=
A
15.(烟台市中考题) (1)四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和是5,求中间小正方形的面积.
(2)现有一张长为6.5cm .宽为2㎝的纸片,如图乙,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形.(要求:先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据)
16.(北京市竞赛题) 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,求证:BD 2=AB2+BC2
.
第四讲 位置与坐标
一. 知识链接
1. 平面直角坐标系及各象限内点的坐标符号:
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.
2. 点P (x , y ) 关于x 轴、y 轴或原点等对称点坐标的特征:
⑴. 关于x 轴的对称点为P '(x , -y ) ; ⑵. 关于y 轴的对称点为P '(-x , y ) ; ⑶. 关于原点的对称点为P '(-x , -y ) ; ⑷.关于y =x 的对称点为P '(y , x ) ;
⑸. 关于y =-x 的对称点为P '(-y , -x ) ; ⑹. 关于点M (a , b ) 的对称点为P '(2a -x ,2b -y ) 。 3. 点P (x 0, y 0) 到坐标轴、原点和直线的距离:
(1)到x 轴的距离等于|y 0|; (2)到y 轴的距离等于|x 0|; (3) (4)到直线Ax +By +C =0的距离是d =4. 两点间的距离公式: 已知两点A (x 21, y 1), B (x 2, y 2),则 AB =
x 21-x 2+y 1-y 2.
特别地,. 若AB ∥X 轴, 则AB =|x A -x B |; . 若AB ∥Y 轴, 则AB =|y A -y B |. 5. 分点坐标公式:已知A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),若点P (x , y ) 分线段AB 为
AP
PB
=λ, 则点P (x , y ) 的坐标为⎧λ⎪x 1+x 2
⎪x =⎨1+λ
⎪y +λy . (定比分点坐标公式)
12⎪⎩
y =1+λ
特别地,当点P (x , y ) 为线段AB 的中点时,P 点坐标为
⎛x 1+x 2y 1+y 2⎫
⎝2, 2⎪⎭
(中点坐标公式). 6. 三角形重心坐标公式: △ABC 三顶点坐标为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) , 则△ABC 的重心坐标为:
O (
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) .
7. 坐标变化与图形变化的规律:
二. 经典例题
例1. 解答以下各题: ⑴.(2013年绵阳市中考)如图,把“QQ ”笑脸放在直角坐标系中,已知左眼A 的坐标是(-2,3),嘴唇
C 点的坐标为(-1,1),则将此“QQ ”笑脸向右平移3个单位后,右眼B 的坐标是
第第题图12题图 第2题图
⑵.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O 出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A 1(0,1),A 2(1,1),A 3(1,0),A 4(2,0),…那么点A 4n+1(n 为自然数)的坐标为 (用n 表示)
⑶. 如图,动点P 从(0,3)出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,
第(3)题图 第(4)题图
⑷. 在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.且规定,正方形的内部不包含边界上的点.观察如图所示的中心在原点、一边平行于x 轴的正方形:边长为1的正方形内部有1个整点,边长为2的正方形内部有1个整点,边长为3的正方形内部有9个整点,„则边长为8的正方形内部的整点的个数为( ) A .64. B.49. C.36. D .25.
例2. 解答下列竞赛试题:
⑴.(第二十三届“希望杯”) 如下图,在平面直角坐标系内,A 、B 、C 三点的坐标分别是(0,0),(4,0),(3,-2),以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限
G M
C B F
第⑵题图 ⑵. (2013年全国初中数学联赛初二组) 如图,已知正方形ABCD 的边长为4,M 点为CD 边上的中点,若M 点是A 点关于线段EF 的对称点,则A 、
AE
等于( ) ED
531 B 、 C 、2 D 、 352
)和点(-8)
都在直线y =-
-7,m ,n ⑶.(第二十四届“希望杯”) 点(上,则m 和n 的大小关系是2x -6
( )
n =n (A )m . (B )m . (C )m . (D )不能确定的. ⑷.(四川省竞赛题) 若关于x , y 的方程组⎨数m 的范围是( ). A. m >
⎧3mx +2y =3
的解为坐标的点则符合条件的实(x , y ) 在第二象限,
x -3my =9⎩
111
B. m
929
2
⑸(澳洲数学竞赛题) 设平面直角坐标系的轴以1cm 作为长度单位,△PQR 的顶点坐标为P(0,3),Q(4,0),R(k,5),其中0
813
C. 2 D. 34
(6)(全国初中数学联赛题) 在直角坐标系中,x 轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5),Q(2,1) 的距离分别为MP
和MQ, 那么当MP+MQ取最小值时,点M 的横坐标为
例3. (2009年四川省初中数学联赛).(如图,直线OB 是一次函数y =-2x 的图象,点A 的坐标为(0,2),在直线OB 上找点C ,使得 ACO 为等腰三角形,点C 坐标。
例4 . (2013年全国初中数学联赛初二组) 如图,已知直角梯形OABC 的A 点在x 轴上,C 点在y 轴上,
OC =6,OA =OB =10,PQ //AB 交AC 于D 点,且∠ODQ =90︒,求D 点的坐标。
三. 经典练习
1. 在平面直角坐标系中,点P (-2,x 2+1) 所在的象限是( )
A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1) ,然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1) →(1,1) →(1,0)→„],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( ) A.(4,O)
B.(5,0)
C .(0,5)
D .(5,5)
第2题图
3. 如图,把Rt △ABC 放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A 、B
的坐标分别为(1,0)、(4,0),将△ABC 沿x
轴向右平移,当点C 落在直线y=2x-6上时,线段BC 扫过的面积为( ) A .4
B.8
C.16
D.2) ,若点P 在x 轴上,且△APO 是等腰三角形,则点P 的坐标不可能4. 如图,点A 的坐标是(2,是( ) ...
A .(2,0) B.(4,0) C.(-0) D.(3,0)
5. 在直角坐标系中,正方形A 1B 1C 1O 1、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、„、A n B n C n C n -1按如图所示的方式放置,其中点A 1、A 2、A 3、„、A n 均在一次函数y =kx +b 的图像上,点C 1、C 2、C 3、„、C n 均在x 轴上。若点B 1的坐标为(1,1),点B 2的坐标为(3,2),则点A n 的坐标为 .
6. 对点(x ,y )的一次操作变换记为P 1(x ,y ),定义其变换法则如下:P 1(x ,y )=(x +y ,x -y );规定P n (x , y ) =P 1(P n -1(x , y )) (n 为大于1的整数).如P 1(1,2 )=(3,-1),P 2(1,2 )= P 1(P 1(1,2 ))=P(3,-1)=(2,4),P 3(1,2 )= P 1(P 2(1,2 ))= P 1(2,4)=(6,-2).则P 2011(1,-1)=( ). A .(0,2
1005
) B.(0,-2
1005
) C.(0,-2
1006
) D.(0,2
1006
)
7. 如图,矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上,点B 的坐标为(3,2).点D 、E 分别在AB 、BC 边上,BD=BE=1.沿直线DE 将△BDE翻折,点B 落在点B′处.则点B′的坐标为
(A )(1,2). (B )(2,1). (C )(2,2). (D )(3,1).
8. 如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴正半轴上,B 点坐标为(3,2),OB 与AC 交于点P ,D 、E 、F 、G 分别是线段OP 、AP 、BP 、CP 的中点,则四边形DEFG 的周长为
9. 如图,在平面直角坐标系中,有若干个横纵坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0)(2,1),(1,1)(1,2)(2,2),„„,根据这个规律,第2012个点的横坐标为 .
10题 (9 题)
10. 如图10,在直角坐标系中,第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1,第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2,第三 次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3,已知A (1,3) ,A 1(2,3) ,A 2(4,3) ,A 3(8,3) ,B (2,0) ,B 1(4,0) ,B 2(8,0) , B 3(16,0) 观察每次变换前后的三角形有何变化,按照变换规律,第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是_______,B 5的坐标是______;△OA 5B 5的重心坐标是_______;△OA 4A 5的面积是_______。
11. (1)对数轴上的点P 进行如下操作:先把点P 表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移1个单位,
3
得到点P 的对应点P′. 点A ,B 在数轴上,对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′,其中点A ,B 的对应点分别为A′,B′.如图1,若点A 表示的数是-3,则点A′表示的数是;若点B′表示的数是2,则点B 表示的数是 ;已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E′与点E 重合,则点E 表示的数是 ;
(2)如图2,在平面直角坐标系xoy 中,对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ,将得到的点先向右平移m 个单位,再向上平移n 个单位(m >0,n >0),得到正方形A′B′C′D′及其内部的点,其中点A,B 的对应点分别为A′,B′。已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合,求点F 的坐标。
4),点B 是x 轴正12. 在平面直角坐标系xOy 中,我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点A (0,
半轴上的整点,记△AOB 内部(不包括边界)的整点个数为m .当m =3时,点B 的横坐标的所有可能值
是 ;当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时,
m = (用含n 的代数式表示.)
(第12题图) (第13题图)
13. 【阅读】在平面直角坐标系中,以任意两点P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)为端点的线段中点坐标为
(
x 1 +x 2y 1 +y 2
2
2
.
【运用】(1)如图,矩形ONEF 的对角线交于点M ,ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上,O 为坐标原点,点E 的坐标为(4,3),则点M 的坐标为______;
(2)在直角坐标系中,有A (-1,2),B (3,1),C (1,4)三点,另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点,求点D 的坐标.
S △ADO
=________;
S △ABC
14. 在平面直角坐标系中,点A 关于y 轴的对称点为B ,点A 关于原点O 的对称点为点C . (1)若点A 的坐标为(1,2),请你在给出的坐标系中画出△ABC. 设AB 与y 轴的交点为D ,则(2)若点A 的坐标为(a,b )(ab≠0), 则△ABC 的形状为_______.
15. 如图. 平面直角坐标系中,△ABC 为等边三角形,其中点A 、B 、C 的坐标分别为(-3,-1)、(-3,-3)、(-3 ,-2) ,现以M (2,4) 为对称点作△ABC 的对称图形,得△A 1B 1C 1,再以y =x 轴为对称轴作△A 1B 1C 1的对称图形,得△A 2B 2C 2.
(1)分别写出△A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2的顶点坐标; (2)△A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2重心之间的距离。
第五讲 一次函数及其应用
一. 知识链接
1. 形如y =kx +b (k ,b 为常数,b ≠0)的函数, 称y 是x 的一次函数. 特别地,当b =0时,称y 是x 的正比例函数.
2. 一次函数y =kx +b 的图象是一条直线, k反映了直线对于x 轴正方向的倾斜程度,故称k 为直线的斜率。 b 是直线和y 轴交点的纵坐标,称为直线的截距。
若p 1(x 1, y 1), p 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)是直线l :y =kx +b 上的两点,则k =
y 1-y 2
。
x 1-x 2
2. 直线l 1:y =k 1x +b 1与直线l 2:y
=k 2x +b 2(
k 1≠0, k 2≠0)的位置关系.
①k 1
⎧y =k 1x +b 1
的解。 ≠k 2⇔l 1与l 2相交,其交点坐标p (x 0, y 0) 是方程组⎨
⎩y =k 2x +b 2
特别地l 1⊥l 2⇔k 1. k 2=-1。
②⎨
⎧k 1=k 2, ⇔l 1与l 2平行,且l 1与l 2之间的距离是:d =
⎩b 1≠b 2
⎧k 1=k 2,
⇔l 1与l 2重合.
b =b ⎩12
③⎨
3. 一次函数式的确定:一次函数的确定需要两个独立的条件,根据条件的不同,选择不同的形式确定函数表
4. 几类直线系方程:由一个条件确定一次函数,则只能确定一个直线系方程,如果再根据其他条件则可确定直线方程。
⑴.和直线l :y =kx +b 平行的直线为l /:y =kx +λ. (λ为待定参数)
/
⑵.和直线l :y =kx +b 垂直的直线为l :y =-
1
x +λ.(λ为待定参数) k
⑶.过两条直线l 1:y =k 1x +b 1和直线l 2:y =k 2x +b 2(k 1≠0, k 2≠0交点的直线为:
l /:y =k 1x +b 1+λ(k 2x +b 2) (λ为待定参数)
⑷.过定点p (x 0, y 0) 的直线为y =k (x -x 0)+y 0. (λ为待定参数) 5. 一次函数l :y =kx +b 图象的变换
(1)沿x 轴向左(或右)平移a 个单位,则l ':y =k (x ±a ) +b (a>0); (2)沿y 轴向上(下)平移h 个单位,则l ':y =kx +b ±h (h>0). (3)关于x 轴对称的函数是:-y =kx +b ; (4)关于y 轴对称的函数是:y =k (-x ) +b ; (5)关于原点对称的函数是:-y =k (-x ) +b 。
6. 一次函数的保号性:由于一次函数y 随x 增大而一直地增大(或减小),所以当m ≤x ≤n 时: y ≥0⇔⎨
⎧km +b ≥0⎧km +b ≤0
,或y ≤0⇔⎨。
kn +b ≥0kn +b ≤0⎩⎩
二. 经典例题
例1. (2006年“信利杯”数学竞赛题)已知直线l 经过(2,0) 和(0,4) ,把直线l 沿x 轴的反方向向左平移2
个单位,得到直线l ' ,则直线l ' 的解析式为例2. (2006年全国初中联赛决赛试题)设0<k <1,关于x 的一次函数y =kx +
最大值是( )
(A )k (B )2k -
1
(1-x ) ,当1≤x ≤2时的k
111 (C ) (D )k + k k k
例3.(2005年辽宁省初中数学竞赛题)为鼓励用户节约用电,某市电力公司制定新的民用电收费标准,每
月用电量x(度) 与应付电费y(元) 的关系如图所示.
(1)根据图象,分别求出当
0≤x≤50和x >50时,y 与x 的函数关系式; (2)当每月用电量不超过50度时,收费标准是怎样的? 当每月用电量超过 50度时,收费标准是怎样的?
⎧3x +2y +z =5
例4.(2013年四川省初中数学联赛试题)已知:x , y , z 为三个非负实数,且满足⎨,
2x +y -3z =1⎩
设s =3x +y -7z ,则s 的最大值是( ) (A )-
1157
(B ) (C ) - (D )-
117511
例5.(2013年四川省初中数学联赛试题)已知一次函数y =kx +b (k ≠0) 的图像与x 轴的正半轴交于E 点,与y 轴的正半轴交于F 点,与一次函数y =2x -1的图像相交于A (m,2),且A 点为EF 的中点. (1)求一次函数y =kx +b 的表达式;
(2)若一次函数y =2x -1的图像与x 轴相交于P 点,求三角形APE 的面积。
例6.(2013河北省中考题)如图15,A (0,1),M (3,2),N (4,4). 动点P 从点A 出发,沿轴
以每秒1个单位长的速度向上移动,且过点P 的直线l :y =-x +b 也随之移动,设移动时间为t 秒. (1)当t =3时,求l 的解析式;
(2)若点M ,N 位于l 的异侧,确定t 的取值范围;
(3)直接写出
t 为何值时,点M 关于l 的对称点落在坐标轴上.
例7. (2012年全国初中数学联赛试题). 如图,一次函数y =-2x +8的图象与两坐标轴分别交于P 、Q 两点,在线段PQ 上有一点A, 过点A 分别作坐标轴的垂线,垂足分别为B 、C. ⑴. 若矩形ABOC 的面积为4,求点A 的坐标。
⑵. 若点A 在线段PQ 上移动,求矩形ABOC 面积的最大值。
例8. (2006年四川省数学联赛试题)已知一次函数y =
k 1x +(k 为正整数)的图象与x 轴、y 轴的k +1k +1
交点是A K 、B K , O 为坐标原点,设Rt ∆A k B k O 的面积是S k , 求S 1+S 2+... +S 2006的值。
三. 经典练习
1.(1999年全国初中数学联赛试题)设一平面直角坐标系内,则有一组
,将一次函数
与
的图象画在同
的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( )。
千米,休息了一段时间,又原路
2.(2000年全国初中数学联赛试题) 某人骑车沿直线旅行,先前进了返回
千米(
),再前进
千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( )。
3、(2011年四川省数学联赛试题)有一个最多能称10千克的弹簧秤,称重发现,弹簧的长度与物体重量满足
A 10厘米 B 13.5厘米 C 14厘米 D 14.5厘米
4、(2011年四川省数学联赛试题)如图,在直角坐标系中,A 、B 是某个一次函数图像上的两点,满足∠AOB
是直角,且AO =BO =2,若AO 与y 轴的夹角是60. 求这个一次函数.
5、(2012年四川省数学联赛试题)已知直线y =kx +b 经过点A (1,1)和点B (-1, 3) ,且与x 轴、y 轴的交点分别为C , D , 设O 为坐标原点.求∆COD 的面积.
.
x
y
6.
(2000年全国初中数学联赛试题)一个一次函数图象与直线平行,与轴、轴的交
点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有(
)。 (A )4个; (B )5个; (C )6个; (D )7个。
7. (2007年四川省初中数学联赛试题)已知一次函数y =ax +b 的图象经过点
A 2), B (-1C (c ,2-c ). 求a -b +c 的值。
8(2006年四川省初中数学联赛试题)在同一直角坐标系中,解析式为y=kx+b(k≠0,其中k ,b 为实数)的直线有无数条,在这些直线中不论怎样抽取,问至少要取多少条直线才能保证其中有两条直线经过完全相同的象限( )
A 、4条 B、5条 C、6条 D、7条
9.(2005年黑龙江省初中数学竞赛题)已知正比例函数y=(2m-1)x的图像上有两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当x 1<x 2时,有y 1>y 2,那么m 的取值范围是( );
A .m <2 B. m>2 C. m<
1
2
D. m>
1 2
10、(2009年四川省初数学联赛试题)在直角坐标系中,若一点的纵横坐标都是整数,则称该点为整点。设k 为整数,当直线y =x -2与y =kx +k 的交点为整点时,k 的值可以取( ) A .4个 B.5个 C.6个 D.7个
11. (全国初中数学联赛题) 如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6),直线y =恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分,那么b =________。
12. (2007年四川省初中数学试题)已知实数a 、b 、c 满足a +b +c ≠0,并且则直线y =kx -3一定通过 ( ).
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C . 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
13. (2005年辽宁省初中数学竞赛题)学校计划购置一批电脑,现有甲、乙两家商场报价每台均为a 元,甲商场的优惠条件是购买10台以上,则从第11台开始按报价的70%出售;乙商场的优惠条件是每台按报价的85%出售,如果两家商场的电脑品牌、质量及售后服务完全相同,你选择哪家商场购货? 14.(第二届“南方杯”数学邀请赛试题) 问:是否不论实数k 为何值,直线(k -1) x -(2k +3) y -k -10=0在平面直角坐标系xOy 中总是过一个定点?答:_________ (若不是,
填“否”;若是,填上该定点的坐标).
15. (2007年临安市初中数学竞赛题)在直角坐标系中,横纵坐标都是整数的点称为整点,设k 为整数,当直线y=x -3与y=kx+k的交点为整点时,k 的值可以取( )
A .6个 B.4个 C.2个 D.8个
1
x +b 3
a b c
===k ,b +c c +a a +b
16. (2007年临安市初中数学竞赛题) 一商店销售某种食品,每天从食品厂批发进货,当天销售。已知进价为每千克4.2元,售价为每千克6元,当天售不出的食品可以按每千克1.2元的价格退还给食品厂。根据以往销售统计,该商店平均一个月(按30天计算) 中,有10天可以售出这种食品10千克,有20天只能售出6千克。食品厂要求商店每天批进这种食品的数量相同,那么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克,才能使每月获得的利润最大? 最大利润是多少? 17.(第二十届江苏省初中数学竞赛题)某仓储系统有20条输入传送带,20条输出传送带.某日,控制室的电脑显示,每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(1),每条输出传送带每小时出库的货物流量如图 (2),而该日仓库中原有货物8吨,在0时至5时,仓库中货物存量变化情况如图(3),则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作? 在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?
18.(
2005
年宁波市初中数学竞赛题)
某个游泳池有
2个进水口和一个出水口,每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示,出水口的出水量与时间的关系如图2所示,某天早上5点到10点,该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示.
图1
在下面的论断中:
图2
图3
①5点到6点,打开进水口,关闭出水口;
②6点到8点,同时关闭两个进水口和一个出水口; ③8点到9点,关闭两个进水口,打开出水口;
④10点到11点,同时打开两个进水口和一个出水口. 可能正确的是( )
A .①③ B .①④ C .②③ D .②④
19. (2005年宁波市初中数学竞赛题) 某租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现
将这50台联合收割机派往A 、B 两地收割小麦,其中30台派往A 地,20台派往B 地.两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下:
(1)设派往A 地x 台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y (元),请用x
表示y ,并注明x 的范围.
(2)若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并
将各种方案写出.
20(2013河北省中考题)如图9,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,且AE = EF = FB = 5,DE = 12,动点P
从点
A 出发,沿折线AD -DC -CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止. 设运动时间为t 秒,y = S △EPF ,则y 与t 的函数图象大致是( )
21. (2006年四川省数学联赛试题)平面直角坐标系内有A (2, 1), B (3,3) 两点, 点P 是y 轴上一动点,求P 到A 、B 距离之和最小时的坐标。
y P' O
P
当PA +PB 最小时,试求P 点的坐标。
23. (2007年四川省初中数学联赛试题)已知x 、y 、z 都为非负实数,满足:x +y -z =1, x +2y +3z =4,
记w =3x +2y +z ,求w 的最大值与最小值。
(2)若某人当月缴纳的所得税款为405元,那么他当月的工资、薪金是多少元?(结果保留到个位)
第六讲 一次方程及方程组
一. 知识链接
1、一元一次方程
只有一个未知数且未知数的次数是一次的方程称为一元一次方程。任何一个一元一次方程通过化简都可变形为ax=b(a≠0) 的形式。解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。
2、方程ax=b(a、b 为常数) 的解的情形
x =
⑴.当a ≠0时,方程ax=b有唯一解
b a
⑵.当a=0,b=0时,方程ax=b有无数多个解,即方程的解为任何实数。 ⑶.当a=0,b ≠0时,方程ax=b无解。 3、一次方程组
解一次方程组的基本思想是“消元”,常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” ⑴ 二元一次方程组⎨
⎧a 1x +b 1y =c 1
的解的情况有以下三种:
⎩a 2x +b 2y =c 2
①当
a 1b 1c 1
==时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效) a 2b 2c 2
a 1b 1c 1
=≠时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的) a 2b 2c 2
② 当
c 1b 2-c 2b 1⎧x =⎪a 1b 2-a 2b 1a 1b 1⎪
≠(即a 1b 2-a 2b 1≠0)时,方程组有唯一的解:⎨③当 (这个解可用加减消元法求a 2b 2c a -c a ⎪y =2112
⎪a 1b 2-a 2b 1⎩
得)
⑵ 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。
⑶ 求方程组中的待定系数的取值,一般是先求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。
二. 经典例题
m
(x -n )=1(x -m )
4例1. 解关于x 的方程 3
例2.(1982年天津初中数学竞赛题)已知关于x ,y 的二元一次方程 (a -1)x +(a +2)y +5-2a =0,当a 每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解,并证明对任何a 值它都能使方程成立吗?
5x 2+2y 2-z 2
例3. (全国初中数学竞赛题) 若4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0(xyz ≠0) ,则代数式的222
2x -3y -10z
值等于( ) . A .-
119 B .- C .—15 D .—13 22
例4. 解以下各方程组: (1)(“晋云杯”邀请赛试题) (2)
(1)⎧16x +3y +3z =10 ⎧x y z ⎪⎪== (1)(2)⎨3x +16y +3z =14 ⎨234
⎪⎪(3)⎩4x +3y -4z =5 (2) ⎩3x +3y +16z =20
(3).(北京市竞赛题) (4)
⎧pq 6
=⎪p +q 5
⎪
3⎧1995x +1997y =5989⎪qr = . ⎨⎨
q +r 41997x +1995y =5987⎩⎪
⎪rp =2⎪r +p 3⎩
⎧y =kx +b..................(1)
例5. k 、b 为何值时,方程组⎨ ,
y =(3k -1)x +2......(2) ⎩
(1)有惟一一组解; (2)无解; (3)有无穷多组解?
(x -y ) +1989(y -z ) +1990(z -x ) =0 (1) ⎧1988
例6.(全国通讯赛试题) 已知:⎨,求z-y 的值. 222
1988(x -y ) +1989(y -z ) +1990(z -x ) =1989 (2) ⎩
⎧2x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=6⎪x +2x +x +x +x =1212345⎪⎪
例7.(美国数学邀请赛试题) 若x 1~x 5满足下列方程组:⎨x 1+x 2+2x 3+x 4+x 5=24,求3x 4+2x 5的值.
⎪x +x +x +2x +x =48
2345
⎪1⎪⎩x 1+x 2+x 3+x 4+2x 5=96
例8. (武汉市“CASIO ”杯竞赛题)已知正数a,b,c,d ,e, f 满足:
bcdef acdef abdef abcef 1abcdf 1abcde 1
=4, =9, =16, =, =, =. a b c d 4e 9f 16
求(a +c +e ) -(b +d +f ) 的值。
三. 经典练习
x x x ++ +=20011⨯22⨯32001⨯20021. 方程的解是( )
A、2000 B、2001 C、2002 D、2003
2
x -3k =5(x -k )+1
2. 关于x 的方程3的解是负数,则k 的值为( )
111
A 、k>2 B、k
x -b -c x -c -a x -a -b 111⎛⎫
++=3 其中++≠0⎪a b c a b c ⎝⎭的解为 3. (1989年上海初一试题)方程
4.( “希望杯”邀请赛试题) 若x +y -与|x -y +3|互为相反数,则(x+y)2001= .
5.(天津市竞赛题) 当a =方程组⎨
6.(重庆市竞赛题) 已知(x一y+1)2十2x +y -7=0,则x 2一3xy+2y2的值为( ) .
A .0 B .4 C .6 D .12
⎧3x -5y =2a
的解x 、y 互为相反数,方程组的解为 .
2x +7y =a -18⎩
⎧mx +2y =10
7.(“希望杯”邀请赛试题). m 为正整数,已知二元一次方程组⎨有正整数解,即x 、y 均为正
3x -2y =0⎩
整数,则m 2= .
8.设a . 0, b >0, c >0,若x =
a b c
==,则x 的值为( ) b +c a +c a +b
13
A . B .1 C . D .2
22
1999
9.满足y +z +z +x
1999
+x +y
2000
=2的整数组(x , y , z ) 有( )组
A .3 B .5 C .8 D .12
10.已知:a , b , c 三个数满足
ab 1bc 1ca 1abc
=, =, =,则的值为( ) a +b 3b +c 4c +a 5ab +bc +ca
1121A . B . C . D .
6121520
11. 解下列各方程组:
⎧2x +3y -4z =-7⎪
⑴. ⎨x -4y 2y +3z ⑵.
⎧x +2y =5⎪y +2z =8⎪
⎨
⎪⎩3
=2=2
⎧⎪x -y +z =1
⎪y -z +u =2⑷ . ⎪
⎨z -u +v =3 ⎪⎪u -v +x =4⎪⎩v -x +y =5
⎧⎪1+23x y +z =012. 已知⎪
⎨6,试求x y z ⎪1⎪⎩x -y +z +x 的值。
y -5z
=0
⎪z +2u =11⎪⎩u +2x =6
⎧⎪1+1-2
=-4⎪x y z ⑷.
⎪⎨1-1+4
=11 ⎪x y z ⎪⎪12⎩x +y
=5
⎧ax +2y =1+a
13. (湖北省竞赛题)已知关于x 、y 的方程组⎨,分别求出当a 为何值时,方程组
⎩2x +2(a -1)y =3
(1)有唯一一组解; (2)无解; (3)有无穷多组解。
⎧ax +5y =13⎧x =-3
14. (四川省联赛题)甲、乙两人解方程组⎨,由于甲看错了方程中的a 而得到方程组的解为⎨,
⎩4x -by =-2⎩y =-1⎧x =5
乙看错了方程②中的b 而得到的解为⎨,假如按正确的a 、b 计算,试求出原方程的解。
y =4⎩
15.(江苏省竞赛题) 已知对任意有理数a 、b ,关于x 、y 的二元一次方程(a一b)x 一(a十b)y =a+b
有一组公共解,求这个方程的公共解.
16.对于有理数x 、y 定义一种运算“Δ”:x Δy=ax+by+c,其中a 、b 、c 为常数,等式右边是通常的加法与
乘法运算.已知3Δ5=15,4Δ7=28,求1Δ1的值.
17.(江苏省竞赛题) 已知
x +x +y =10 (1) ,
y +x -y =12 (2) ,
求x+y的值。
18.(“希望杯”数学竞赛题) 如图,a,b,c,d ,e, f 均为有理数,图中各行、各列及两条对角线上的三数之和相等,求ab +cd +ef 的值。 a +b +c +d +e +f
41