高等代数(第三版)10-习题课
高等代数 课程教案
授课题目（教学章节或主题）： 授课类型
授课时间理论课 第十章 双线性函数与辛空间(习题课)
教学目标或要求：
教学内容:
第十章 双线性函数与辛空间(小结)
一、基本概念
线性函数；对偶空间。对偶基；双线性函数及其在基下的度量矩阵；非退化的双线性函数，对称与反对称双线性函数，正交基；辛空间，辛正交基.
二、主要结论
1. 设V 是P 上一个n 维线性空间，ε1, ε2, " , εn 是V 的一组基，a 1, a 2, " , a n 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使
f (εi ) =a i , i =1, 2, " , n .
2. 设ε1, ε2, " , εn 及η1, η2, " , ηn 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别
为f 1, f 2, " , f n 及g 1, g 2, " , g n . 如果由ε1, ε2, " , εn 到η1, η2, " , ηn 的过渡矩阵为A ，
那么由f 1, f 2, " , f n 到g 1, g 2, " , g n 的过渡矩阵为(A ′) −1.
3. L (V , P ) 的维数等于V 的维数，而且f 1, f 2, " , f n 是L (V , P ) 的一组基.
4. V 是一个线性空间，V ∗∗是V 的对偶空间的对偶空间. V 到V ∗∗的映射
x →x ∗∗
是一个同构映射.
5. 在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.
6. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
7. 设V 是数域P 上n 维线性空间，f (α, β) 是V 上对称双线性函数，则存在V
的一组基ε1, ε2, " , εn ，使f (α, β) 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
8. 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
9. (V , f ) 是辛空间，W 是V 的子空间，则dim W ⊥=dim V −dim W
教学手段与方法：
采用启发式教学，利用多媒体与板书相结合的教学手段，以板书教学为主 思考题、讨论题、作业：