通过变式教学让学生思维在发散中收敛

　　摘 要：在传统的例题讲解中，教师喜欢通过一题多解培养学生的发散思维，笔者认为这是有必要的，在此基础上还必须进行适当的多题一解的解法归纳，但又不能产生思维的惯性，必须抓住问题的本质而不是流于解法步骤和形式，本文通过变式教学，旨在培养学生发散思维的同时还要注重思维的收敛，思维发散离不开适当收敛，只思维收敛是解决不了问题的，必须有发散思维作为前提，两者是辩证统一的。 　　关键词：变式教学；发散思维；收敛思维 　　中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）04-083-1 　　收敛思维（ConvergentThinking）又称“聚合思维”、“求同思维”、“辐集思维”或“集中思维”，特点是使思维始终集中于同一方向，使思维条理化、简明化、逻辑化、规律化。收敛思维与发散思维，如同“一个钱币的两面”，是对立的统一，具有互补性，不可偏废。实践证明：在教学中，既重视培养学生发散思维，又重视收敛思维的培养，才能较好地促进学生思维发展，提高学习能力，培养高素质人才；中学数学教学中，教师往往在例题教学中会进行一题多解的讲解，训练学生的发散思维能力，当然具备一定的发散思维在解题中是必不可少的，但如果只强调发散，不注意题型与知识方法的归纳，往往会出现另一种极端，不仅可能使学生陷入题海战，而且容易带来思维定位不准、思维不容易“聚焦”的弊端，反而会影响思维的敏捷性和解决问题的有效性。下面通过几道例题谈谈如何通过变式教学让学生思维在发散中适当收敛。 　　例1 已知不等式2x2-9x+m≤0，当x∈[2，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围。 　　1.在问题解决方法上发散 　　解析：原命题即：m≤-2x2+9x在x∈[2，3]上恒成立 　　记g（x）=-2x2+9x，x∈[2，3]，所以m≤g（x）min，∵g（x）=-2（x-94）2+9 x∈[2，3]∴m≤9 　　2.在题目的结构上发散 　　变式1：已知不等式2x2-mx+9≤0，当x∈[2，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围。 　　变式2：已知不等式mx2-2x+9≤0，当x∈[2，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围。 　　经过思维发散，学生解决问题的能力是不是就提高了呢？不一定！这需要我们在教学中进一步引导学生，把思维收敛于解决这类问题的关键上，即以下几点： 　　（1）通过分离变量，将问题转化为a≥f（x）（或a≤f（x））恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。 　　（2）一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 　　（3）二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。 　　（4）对于有些f（x）≥g（x）型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。思维如此收敛以后，学生解决这类问题的能力才算得到提高。 　　例2 函数y=sin（3x+π4），x∈R在什么区间上是减函数？ 　　解析：设z=3x+π4，则y=sinz。函数y=sinz在区间[2kπ+π2，2kπ+3π2]上是减函数，当2kπ+π2≤3x+π4≤2kπ+3π2，即23kπ+π12≤x≤23kπ+5π12（k∈Z）时，函数y=sin（3x+π4）是减函数。所以，函数y=sin（3x+π4），x∈R在区间[23kπ+π12，23kπ+5π12]（k∈Z）上是减函数。 　　变式：函数y=sin（-3x+π4），x∈R在什么区间上是减函数？ 　　解析：许多学生在作业中是这样求解的： 　　错解：设z=-3x+π4，则y=sinz， 　　因为函数y=sinz在区间[2kπ+π2，2kπ+3π2]上是减函数，所以当2kπ+π2≤-3x+π4≤2kπ+3π2，即-23kπ-512π≤x≤-23kπ-π12（k∈Z）时，函数y=sin（-3x+π4）是减函数。所以，函数y=sin（-3x+π4），x∈R在区间[-23kπ-512π，-23kπ-π12]（k∈Z）上是减函数。 　　整个求解过程，看起来似乎完美无缺，无懈可击，但实际上这是一种误解，学生之所以误解，是思维惯性的负面结果。学生首先对问题进行了模式辨认，误把y=sin（-3x+π4）看作正弦函数，试图把问题纳入到已建立的模式中加以解决，忽视了对变量范围的认真分析，我们教师要让学生认识到题目的本质上是求复合函数的单调区间，应该遵循“同增异减”的原则。 　　解法一：只要解不等式2kπ-π2≤-3x+π4≤2kπ+π2即可。 　　解法二：y=sin（-3x+π4）=-sin（3x-π4），下面求y=sin（3x-π4）的单增区间即可。 　　这需要我们在教学中进一步引导学生把思维收敛于解决在求y=sin（-ax+b）（a>0）的单减区间问题上，归纳以下几点： 　　（1）先利用诱导公式y=sin（-ax+b）=-sin（ax-b）（a>0）。 　　（2）要求y=sin（-ax+b）（a>0）的单减区间即求y=sin（ax-b）（a>0）的单增区间。 　　思维发散并不是考试所直接要求的思维品质，而且思维发散只有在恰当地收敛后才有意义，但在具体的思维过程中，这一过程又必不可少，它往往是获得重大发现的先导，是思维收敛的基础。思维发散的积极效应就在于老师在教学中必须精心备课，积极创设思维发散的情境。