电磁场数值计算之1-西安交通大学电气工程学院

第一章 电磁场基本概念

§1－1 Maxwell 方程组 （一）maxwell 方程

微分形式 积分形式

全电流定律 ∇⨯Η=J +

∂D

∂t

∂D ⎛

H ⋅dl =J +L ⎰⎰S ∂t ⎝

⎫

⎪⋅ds （1-1）

⎭

电磁感应定律 ∇⨯E =-

∂B

∂t

⎛∂B ⎫

E ⋅dl =-⎪⋅ds （1-2）L ⎰⎰S ∂t ⎝⎭

高斯定律 ∇⋅D =ρ 磁通连续性原理 ∇⋅B =0 电流连续性方程 ∇⋅J =-

说明：

∂ρ

∂t

D ⋅ds =⎰⎰⎰

S S

V

ρ⋅dv （1-3）

B ⋅ds =0 (1-4)

J ⋅ds =⎰⎰⎰-

S

V

∂ρ

dv （1-5） ∂t

1、①四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；②积分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关系）、复数形式（可作为稳态场计算）；③梯度、散度、旋度的概念（描述“点”上电磁场的性质）。

2、方程（1-1）、（1-2）、（1-5）是一组独立方程，其它两个方程可以由此推出。但独立方程有6个变量（B 、H 、E 、D 、J 、ρ），因此，方程数少于未知量，是非定解方式，必须加本构方程才为定解形式，对于简单媒质，本构方程为 D =εE B =μH J =γE (1-6)

3、材料性质

材料是均匀的 ε=c o n s ，t μ=const ，γ=const

材料是非均匀： ε=ε(x , y , z )，μ=μ(x , y , z )，γ=γ(x , y , z ) 材料是各向异性：材料参数用张量形式表示 ε=ε，μ=μ，γ=γ 材料为非线性：材料参数是未知函数的函数 ε=ε(E )，μ=μ(B )，γ=γ(E )

ε=

dD dB dJ

μ= γ= （1-7） dE dH dE

4、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要转化为标量方程才能求解，另外，在边界上不易写出场量边界条件，因此，常化为位函数的定解问题（位函数容易确定边界条件），通过位函数与场量的关系

E =-∇ϕ B =∇⨯A H =-∇ϕm E =-

∂A

-∇ϕ （1-8） ∂t

得到场量。

§1－2 偏微分方程的基本概念 1.2.1 偏微分方程的基本概念

微分方程分为常微分方程和偏微分方程（又分为描述不同物理现象的椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程及其线性和非线性方程），电磁场问题多为偏微分方程问题。 1、 常微分方程

未知函数是一元函数（即一个变量的函数）的微分方程（组）。如R 、L 、C 串联电路是两阶常系数非齐次微分方程，

d 2u c du

CL 2+RC c +u c =u s （1-9）

dt d t

对于一个n 阶场微分方程，通常可将其分解为有n 个任意常数的通解形式，根据初始条件解出常数。 2、 偏微分方程

未知函数是多元函数的微分方程，如 u =u (x , y , t )。又分为线性和非线性偏微分方程，除了极有限的问题可以用分离变量法求解外，多数问题难以用解析表达式表示。

（1） 线性偏微分方程

⎛∂u ∂u ⎫∂ϕ∂ϕ

()⎪u =ϕx , y , =-E , =-E y ，设 u =u (x , y ) ，p =p （如：u , , x ∂x ∂y ⎪∂x ∂y ⎝⎭如：u =A (x , y ), ∂A ∂A

=-B y , =B x ），则 ∂x ∂y

∂2u ∂2u ∂2u

a 2+b +c 2+f =0 （1-10）

∂x ∂y ∂x ∂y

f (x , y , p )=d

∂u ∂u

+e +ru +s ∂x ∂y

中，如果a,b,c,d,e,r,s 与p 无关，只是x,y 的函数，则称式(1-10)为线性微分方程。

（2） 非线性微分方程

a,b,c, d,e,r,s,f中只要有一项不满足上述条件，或未知函数及其偏导数是非线性的微分方程，则都称为非线性微分方程。如恒定磁场中的定解问题

∂⎛1∂A ⎫∂⎛1∂A ⎫∂⎛1∂A ⎫

⎪⎪+∂y μ∂z ⎪⎪=-J μ∂y ⎪⎪+∂z ∂x μ∂x ⎝⎭⎝⎭⎝⎭μ=μ(A )

如：在电磁场中，若μ=c ，或媒质不均匀时μ=μ(x , y , z )，均为线性方程。若μ=μ(B )，或μ=μ(A )，则为非线性方程。 1.2.2 偏微分方程的分类

宏观电磁场都是二阶微分方程，下面以二阶电磁场偏微分方程为例，看偏微分方程的不同类型所反映的物理现象。

以二元函数为例，u =u (x , y )，y 可以是时间变量t ，那么偏微分方程的普遍形式为

∂u ∂u ∂2u ∂2u ∂2u

+e +ru +s a 2+b +c 2+f =0 f (x , y , p )=d ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

最高阶项称为主部，主部决定着公式所代表的物理特性：

∂2ϕ∂2ϕρ

ac -b >0 椭圆型方程，如 ，a =c =1，b =0 +=-22

ε∂x ∂y

2

∂2ϕ∂2ϕ

ac -b

∂x ∂y

2

∂2ϕ∂ϕ

-=0，a =1，b =c =0 ac -b =0 抛物型方程，如

∂x 2∂t

2

1、椭圆型方程

∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕρ

如泊松方程、拉普拉斯方程 2+2+2=-

ε∂x ∂y ∂z

x 2y 2z 2

（ 与椭圆方程 2+2+2=1 形象对比）

a b c

特点：所有二阶偏导数的系数同符号，描述的物理现象：

描述平衡、定常的稳定状态，因此方程与时间无关，定解条件中只有边界条件，没有初始条件。

如重力场、静电场、恒定电场、恒定磁场、稳定温度分布过程。 2、双曲型方程

∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕ∂2u

如波动方程 2+2+2-με2=0 无损耗，无激励源

∂x ∂y ∂z ∂t

x 2y 2z 2

（ 与双曲型方程 2+2-2=1 形象对比）

a b c

特点：对时间的偏导数系数与对空间偏导数的系数相差一负号。描述波的传播过程，它具有对时间可逆的性质（用（-t ）代入方程后，方程不变）

如：弦振动、膜振动、声波、电磁波。 3、抛物型方程

⎛∂2u ∂2u ∂2u ⎫∂u

如，热传导方程 -a +2+2⎪=f (x , y , z , t ) 2 ⎪∂t ∂y ∂z ⎭⎝∂x

a —扩散率或导温系数 涡流方程 ∇2H =μγ

∂H ∂E ∂J

， ∇2E =μγ， ∇2J =μγ ∂t ∂t ∂t

x 2y 2

（ 与双曲型方程 z =2-2 形象对比）

a b

特点：对时间变量的二阶导数为零。描述各种场的扩散过程，它具有对时间不可逆的性质。 1.2.3 定解问题 1、初值问题

只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电磁波传播问题等。 2、边值问题

只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场

等问题。 3、 混合问题

既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电磁场问题等。 4、 解的稳定性问题

如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定的。反之称为不稳定解。

（第1次课）

§1－3 电磁场中的定解问题

定解问题 = 泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件） 下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。 1.3.1 静态、稳态电磁场中的泛定方程 1、静电场方程

⨯ E =0 静电场的基本方程 ∇⋅D =ρ , ∇

泊松方程 ∇⋅ε∇ϕ=-ρ 三维方程

∂⎛∂ϕ⎫∂⎛∂ϕ⎫∂⎛∂ϕ⎫

⎪ε+ ε ε⎪+ ⎪=-ρ ⎪∂x ⎝∂x ⎭∂y ⎝∂y ⎭∂z ⎝∂z ⎭

若ε是均匀、各向同性介质，上式为

∇2ϕ=-

ρ

—椭圆型方程 ε

静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。 2、 稳态电流场问题

稳态（直流）电流场满足的基本方程：

∇⋅J =0 , ∇⨯E =0 → E =-∇ϕ

说明在导电媒质中，电流不会自成闭合回路（从电源正极出发到电源负极终止），电位满足

拉普拉斯方程 ∇⋅γ∇ϕ=0 —椭圆型方程 若γ是均匀、线性、各向同性介质，上式为 ∇2ϕ=0

产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。 3、 稳态磁场

稳态（直流）电流产生的磁场满足的基本方程

∇⨯H =J , ∇⨯B =0 , B =μH

（1） 标量磁位的泊松方程

当求解区域内J =0，那么∇⨯H =0，必定存在一个标量函数，使得

H =-∇ϕm

根据∇⋅B =0 , B =μH ，上式为拉普拉斯方程

∇⋅μ∇ϕm =0 —椭圆型方程

上述方程只能用于J =0的单连通域（见雷银照教材），因此应用的局限性较小。当磁场区域内存在铁磁质时，展开后为非线性方程为：

∂⎛∂ϕm ⎫∂⎛∂ϕm ⎫∂⎛∂ϕm ⎫

⎪ μ⎪+ μ⎪+∂z μ∂z ⎪=0 ∂x ⎝∂x ⎭∂y ∂y ⎝⎭⎝⎭

若为线性，则为拉普拉斯方程：

∇2ϕm =0

若已知磁化强度M ，那么

B =μ0(H +M )=μ0(-∇ϕm +M )

代入∇⋅B =0，得到

∇2ϕm =∇⋅M

此时，媒质的磁导率为μ0。 （2） 矢量磁位的泊松方程

根据∇⨯H =J , ∇⋅B =0 , B =∇⨯A ，有双旋度方程

∇⨯

1

∇⨯A =J

μ

取库伦规范∇⋅A =0，及矢量恒等式 ∇⨯∇⨯A =∇(∇⋅A )-(∇⋅∇)A ，得

⎛1⎫ ∇⋅μ∇⎪⎪A =-J —矢量泊松方程 ⎝⎭∂⎛1∂A ⎫∂⎛1∂A ⎫∂⎛1∂A ⎫

⎪ ⎪⎪+ + =-J ⎪ ⎪ ⎪∂x ⎝μ∂x ⎭∂y ⎝μ∂y ⎭∂z ⎝μ∂z ⎭

若为线性、均匀媒质 ∇2A =-μJ

若存在铁磁质，可将其作用等效为磁化电流的作用，它与磁化强度的关系为

∇⨯M =J m

磁矢位A 的方程可以写为真空中的泊松方程

∇2A =-μ0(J +J m )

1.3.2 交变电磁场中的泛定方程 时变场中

∂

≠

0，（下面分段没有绝对的分界线） MQS 场求解时，磁场可以用稳态磁场的方法求解，然后用上述公式求电场；EQS 场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。 1、 扩散方程（抛物型方程） 忽略位移电流，MQS 场的方程为

∇⨯H ≈J , ∇⋅B =0 , ∇⨯E =-

∂B

, ∇⋅D =0 ∂t

由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋度）

∂ϕ⎛1⎫∂A

()∇⋅ε∇ϕ-εμγ=0 非线性介质 ∇⋅ ， ⎪∇A -γ=-J μ⎪∂t ∂t ⎝⎭

线性介质 ∇2A -μγ若为正弦交变场，扩散方程为

∂A ∂ϕ

=-μJ ， ∇2ϕ-μγ=0 ∂t ∂t

-j ωμγA =-μJ ， ∇2ϕ -j ωμγϕ =0 ∇2A

涡流损耗是引起导体发热的主要原因。 2、 波动方程（双曲型方程）

一般不考虑非线性问题，因为如果在铁磁材料中传播电磁波，高频下的涡流损耗及磁滞损耗很大，电磁波很快衰减，能量不可能传递很远。因此，场量的波动方程

∇2

H -μγ∂H ∂2H

∂t -με∂t 2

=0

2

∂E ∂2∇E -μγ∂t -μεE

∂t

2=0

取洛伦兹规范∇⋅A =-

∂ϕ

∂t

，则位函数满足的波动方程 ∇2

A -μγ∂A ∂t -με∂2A

∂t 2=-μJ

∇2

ϕ-μγ∂ϕ∂2ϕρ

∂t -με∂t

2=-ε

1.3.3 定解条件

1、初始条件（柯西问题）

在瞬态电磁场中，初始条件是整个系统初始状态的表达式 扩散方程初始条件：

u (x , y , z , t )t =t =f 0

1(x , y , z , t 0)

波动方程初始条件：

u (x , y , z , t )t =t =f 1(x , y , z , t 0)

∂

∂t u (x , y , z , t )=f 2(x , y , z , t 0) t =t 0

如：初始的速度、电流、电压等。 2、边界条件

（1）第一类边界条件（Dirichlet 狄利赫里条件）

u (x , y , z , t )Γ=g 1

1(x , y , z , t ) — 强加边界条件例1 铁磁体的磁场和电容器的电场（二维）

图1-1第一类边界条件 （a ）磁场问题；（b ）静电问题

在距离磁体足够远的地方，设磁力线平行于边界，因此可以假设A =0。在距离电容器足够远的地方，设等位线平行于边界，可以假设ϕ=0。关键问题是第一类边界条件取得多远，才能保证计算精度。 例2 电机的磁场

图1-2（a ）、（b ）：需要考虑定子外的漏磁，因此，第一类边界条件取在大于定子外径20%之处，磁力线于边界平行，可以设A=0。

图1-2（c ）、（d ）：如果定子深度饱和，漏磁很小，可以忽略，可将第一类边界条件取在定子外径，减少计算量。

图1-2（e ）、（f ）：如果要分析远场，第一类边界条件可以取在大于定子外径5～6倍之处，如图（e ）所示。或者用开于边界条件，如Kelvin-transformation 边界（后面介绍），边界可以小一些，如图（f ）所示。

(a) (b)

(c)

(d)

(e) (f)

图1-2 电机的磁场计算（第一类边界条件） （第二次课）

（2）第二、三类边界条件（Neumann 聂以曼条件）

∂

u (x , y , z , t =g 2(x , y , z , t ) — 自然边界条件 ∂n Γ2

⎛∂u ⎫

+γu ⎪=q 3(x , y , z , t ) — 自然边界条件 β⎝∂n ⎭Γ3

（先复习平行平面场、轴对称场及两种场的等A 线方程，球对称场） 已知边界上的法向导数，代表着几种物理意义： (a) 已知边界上的激励源：面电荷分布或面电流分布 已知面电荷分布

∂ϕ

∂n

=-E n

Γ2

Γ2

=-

D n

ε

=-

Γ2

σε

=g 2

Γ2

已知面电流分布H t =K , B t =μH t 以平行平面场为例：A =A z , K =K z 如：面电流在边界XOZ 平面上，H t 沿x 方向，计算场域在y >0区域，y

域场为零（如电流方向相反的一对平行平板电流）（∵B x =∂A z ∂A , B y =-z ） ∂y ∂x 那么 B t =B x =-μK z 则B x =∂A z =-μK z — 第二类非齐次边界条件 ∂y

如果面电流在YOZ 平面，电流方向不变，H t 沿y 方向，计算场域在x >0区域 那么 B t =B y =μK z 则B y =-∂A z =μK z — 第二类非齐次边界条件 ∂x

(b) 已知边界为场分布的对称线（面）

∂A ∂ϕm =0，=0 — 第二类齐次边界条件，自然边界条件 ∂n ∂n

（提问1：磁场对称问题。①若平行平面场中，对称线上磁力线与其平行，是哪一类边界条件？（对A 而言，由于磁力线为等A 线，所以是第一类边界条件，可以设为参考位。对ϕm 而言，是第二类边界条件，B n =μ∂ϕm =0，在Ansoft 中∂n

称为偶对称）。垂直呢？（如由于磁力线垂直于对称线，即其切线分量等于零，所以∂A

∂n =0，所以是第二类齐次边界条件，如例3。对ϕm 而言，是第一类边界条件，ϕm =c 。在Ansoft 中称为奇对称）。

②轴对称场中磁场沿ρ轴对称？（如螺线管，磁力线垂直于对称线，所以∂A α∂A =-α=0。如磁力线平行于对称线，则rA =c ，是第一类边界条件）。 ∂n ∂z

提问2：电场对称问题。若对称线上电力线与其平行，是哪一类边界条件（齐次第二类边界条件）？垂直呢（第一类，可以设为参考位）？如例4

例3 如图1-3所示，对称线上磁力线与对称边界垂直，即对称线上只有法向分量

根据B =∇⨯A ，且二维场中A =A z e z ，则有 B =B x e x +B y e y =∂A z ∂A e x -z e y ∂y ∂x

由于B x =0，所以，在对称边界上

∂A z ∂A z ==0 图1-3 齐次第二类边界条件 ∂y ∂n

例4 如图1-4（ａ）所示，对称线上电力线与之平行，即只有切向分量，等位线与之垂直，根据E =-∇ϕ

E =-∂ϕ∂ϕe x -e y =E x e x +E y e y ∂x ∂y

∂ϕ∂ϕ==0。还可进一步简化，再利用∂x ∂n 由于E x =0，所以，在对称边界上

另一对称边界，如图1-4(ｂ) 所示，电力线与之垂直。在±100V 电压之间的0V 等位线可以作为第一类边界条件。这样只需计算四分之一区域，计算量大大减少。

(a) (b)

图1-4对称线边界条件

例5 计算E 型、U 型电磁铁的磁场分布（近似为二维场，A =A z , J =J z ）

两种模型无限远处的磁感应强度为零，取计算场域足够大时，可以认为模型的截断边界上磁感应强度为零，所以可以取A=0。

对于E 型电磁铁，对称轴为y 轴，磁力线与y 轴重合，是等磁位线。且电磁铁左右两部分中的电流方向相反，两边A 值相等，符号相反，故y 轴上的A=0，是第一类边界条件。

Γ

图1-5 E型、U 型电磁铁

对于U 型电磁铁，对称轴为y 轴，但磁力线与y 轴垂直，即y 轴与等A 线垂直（平行平面场中B 线就是等A 线），因此在y 轴上∂A =0，在有限元法中，∂n

这类边界节点不需要处理，按内部节点对待（Ansys 中是默认值）。

如果这两种电磁铁的结构还具有上下对称的特点，那么，B 线与x 轴垂直，B x =0，在x 轴上满足第二类齐次边界条件∂A ∂A ==0。 ∂n ∂y

例6： U 型电磁铁如图1-7所示（三维），只需计算四分之一区间，即x >0, y >0，

，三维边界条件分为（三个分量都应有表达式） -∞

1、无限远边界条件

无限远处B =0，所以取三个截断边界面上：A x =A y =A z =0

2、H ⨯e n =0边界条件（也可以是μ=∞, γ=0的边界）

U 型磁铁对x =0平面呈对称，即在边界面yoz 上，只有磁场垂直于分界面，即只有B x 分量，故A x =0，且B y =B z =0，根据B =∇⨯A ，展开

B x =∂A y ∂A x ∂A ∂A ∂A z ∂A y （1） -B y =x -z B z =-∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

∂A y ∂A =0 所以 A x =0, =0, z

∂x ∂x

第一式按强加边界处理，后两式是自然边界条件，且为齐次，不需要专门处理。

图1-7 U 型电磁铁边界条件

2、B ⋅e n =0边界条件（也可以是γ=∞的边界）

磁场强度H 平行于边界面xoz （B y =0），根据A 与B 的正交关系，所以在该平面上A x =0, A z =0, 而 A y ≠0。但因为B x ≠0, B z ≠0，无法从A 的旋度中写出A y 分量的边界条件（∵只有B y =∂A x ∂A z -=0是已知的，而A x =A z =0。∂z ∂x

反之，如果A x ≠0, 或 A z ≠0, 则 B y ≠0），所以，考虑A 的散度，稳态场取库伦规范，即

∂A y ∂A z ∂A x + +=0 ∂x ∂y ∂z

由于在边界面xoz 上，A x 、A z 分量处处为零，因此其偏导数也为零，也是齐次第二类边界条件，最终边界条件为

∂A y A x =

0, =0, A z =0 ∂y

第一、三式是第一类边界条件，第二式是齐次第二类边界条件，不需专门处理。 例7 用三维静磁磁矢位有限元法对CJ20-25交流接触器E 形磁系统进行计算，如图1-8(a)所示。

由于几何结构前后、左右对称，因此只需取四分之一空间计算，如图1-8(b)所示。同上分析，无限远处B =0，所以A x =A y =A z =0

（a ） （b ）

图1-8 CJ20-25交流接触器E 形磁系统

B 平行于对称面yoz 平面，因此该平面上A y =A z =0，即B x =0，从A 的旋度中无法得到齐次第二类边界条件，从A 的散度中得到A x 的表述如图示。

B 又平行于对称面xoz 平面，因此该平面上A x =A z =0，即B y =0，从A 的旋度中无法得到齐次第二类边界条件，从A 的散度中得到A y 的表述如图示。

例8 圆盘形电磁铁的磁场计算。采用圆柱坐标系，设矢量磁位A 和电流密度J 垂直于zor 平面，只有θ方向的分量，即A θ=A ，A r =A z =0，J θ=J ，J r =J z =0。微分方程为

∂⎛∂A ⎫∂⎛ν∂(rA )⎫ ν⎪+ ⎪=-J ∂z ⎝∂z ⎭∂r ⎝r ∂r ⎭

令A' =rA , ν' =ν/r ，则轴对称场的微分方程可以写

为

∂⎛∂A '

ν'∂z ⎝∂z ⎫∂⎛∂A ' ⎪⎪+∂r ν'∂r ⎭⎝

Γ1()⎫⎪=-J ⎪⎭在截断边界上 A' =0

在z 轴上，磁力线平行于轴线，因此

∂A'

∂n =0

Γ2

（3） 周期边界条件

由于电机的磁场是呈周期性分布，在一个对极下的电磁场分布正好是一个周期分布，因此，在一个对极下沿径向可以采用周

期边界条件，即相应边界节点的位函数相等，如

图1-6所示。也可采用半周期边界条件（整数槽），

则相应边界节点的位函数大小相等，符号相反。

周期边界 A x 1=A y 1

半周期边界 A x 1=-A y 1

图1-6 四极感应电机

（第三次课）

3、开域问题的边界条件

如果电磁装置的附近有屏蔽装置，如电机、带有屏蔽外壳的变压器等，这种情况下的电磁能量被限制在有限的区域，区域外的电磁能量近似等于零。