二面角求法(三垂线法)20110418
二面角求法（三垂线法）20110418 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 二面角的求法：
求解过程：1. 作出二面角 2. 认定（证明） 3. 计算 4. 结论
作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB ) ，后连结AB 两点(或
OB 两点) ，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第
一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键。
1. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点。
求截面MB 1D 与底面ABCD 所成二面角的大小。
2. 在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°。若AD =a ，AB =a ，
AC =a ，求二面角B -DC -A 的正弦值。
3．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）面A 1ABB 1与
面ABCD 所成角的大小；（2）二面角C 1—BD —C 的正切值。
D 1 A 1 C 1 1 D 4. 在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝，SB ＝29
（1）证明：SC ⊥BC ；（2）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小；
（3）求异面直线SC 与AB 所成角的大小
5. 如图，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，
求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。
6. 如图：已知，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是AB ＝2，BC ＝2的矩形，
侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD （1）证明：BC ⊥侧面PAB ；
（2）证明：侧面PAD ⊥侧面PAB ；（3）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的大小；
（4）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角的正弦值。
7. 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，
SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝1(1)求四棱锥S —ABCD 的体积； 2
(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．
8. 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中, AD //BC , ∠ABC =90︒, PA ⊥平面
ABCD ,
PA =3, AD =2, AB =Ⅰ) 求证:BD ⊥平面PAC ; (Ⅱ) 求二面角P -BD -A 的大小.