[概率论]考研试题
2005-2012年全国硕士研究生入学统一考试
概率论与数理统计部分试题
2012考研数学(三)
一、选择题
(7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则Ρ{Χ2+Υ2≤1}() (A)
1
4
(B)
12
(C)
π8
(D)
π4
(8)设X 1,X 2,X 3,X 4为来自总体N 的简单随(1,σ2)(σ>0)
X 1−X 2机样本,则统计量的分布()
|X 3+X 4-2|
(A)N (0,1)二、填空题
(14)设A , B , C 是随机事件,A , C 互不相容,P (AB ) =
(B)t (1)
(C)χ2(1)
(D)F (1,1)
11
, P (C ) =, 则23
P (ΑΒC) =_________.
三、解答题
(22)已知随机变量X , Y 以及XY 的分布律如下表所示:
X P
012
1
21316
Y P
012
131313
XY P
0120
4
71213112
求(1)P (X =2Y ) ; (2)cov(X −Y , Y ) 与ρXY .
(23)设随机变量X 和Y 相互独立,且均服从参数为1的指数分布,
V =min(X , Y ), U =max(X , Y ).
求(1)随机变量V 的概率密度;(2)E (U +V ) .
2012数学(一)
一、选择题
(7)设随机变量X 与Y 相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则P {X
1
5
(B)
13
(C)
25
(D)
45
(8)将长为1m 的木棒随机的截成两段,则两段长度的相关系数为()(A)1二、填空题
(14)设A , B , C 是随机文件,A 与C 互不相容,
11
P (AB )=, P (C )=, P (AB ) =
23
(B)
1
2
(C)-
12
(D)-1
三、解答题
(22)设二维随机变量X X
Y
01/401/12
101/30
21/401/12
012
(Ⅰ)求P {X =2Y }(Ⅱ)求Cov (X −Y , Y ).
(23)设随机变量X 与Y 相互独立分别服从正态分布N (µ, σ2)与
N (µ, 2σ2),其中σ是未知参数且σ>0。设Z =X −Y
(Ⅰ)求Z 1, Z 2,...., Z n 的概率密度f (z , σ2)
(Ⅱ)设z 1, 为来自总体Z 的简单随机样本,求σ2的最大似然估计量σ2(Ⅲ)证明σ为σ的无偏估计量.
2
2
2011年考研数学(一)
一、选择题
(7)设F 1(x ), F 2(x )为两个分布函数,其相应的概率密度函数f 1(x ), f 2(x )是连续函数,则必为概率密度的是(A)f 1(x )f 2(x )(C)f 1(x )F 2(x )
(B)2f 2(x )F 1(x )
(D)f 1(x )F 2(x )+f 2(x )F 1(x )
(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且EX 与EY 存在,记U =max {x , y },
V ={x , y },则E (UV ) =
(A)EUEV (B)EXEY 三、解答题(22)
(C)EUEY (D)EXEV
X P
01/3
12/3
Y P
-11/3
01/3
11/3
P (X 2=Y 2)=1, 求:
(Ⅰ)(X , Y ) 的分布;(Ⅱ)Z =XY 的分布;(Ⅲ)ρXY .
(23)设x 1, x 2, ⋯, x n 为来自正态总体N (µ0, σ2)的简单随机样本,其中µ0已知,σ2>0未知,x 和S 2分别表示样本均值和样本方差。(Ⅰ)求参数σ2的最大似然估计σ2(Ⅱ)计算E (σ) 和D (σ2) .
2−
−
2011年数学(数三)一、选择题
(7)设F 1(x ), F 2(x )为两个分布函数,其相应的概率密度函数f 1(x ), f 2(x )是连续函数,则必为概率密度的是(A)f 1(x )f 2(x )(C)f 1(x )F 2(x )
(B)2f 2(x )F 1(x )(D)f 1(x )F 2(x )+f 2(x )F 1(x )
(8)设总体X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布,X 1, X 2, …, X n (n ≥2)为来自总
1n 1n −11
体的简单随机样本,则对应的统计量T 1=∑X i , T 2=X +∑i n X n
n i =1n −1i =1
(A)ET 1>ET 2, DT 1>DT 2(C)ET 1DT 2二、填空题
(B)ET 1>ET 2, DT 1
(14)设二维随机变量(X , Y )服从N (µ, µ; σ2, σ2; 0), 则E (XY 2)=三、解答题(22)
X P
01/3
12/3
Y P
-11/3
01/3
11/3
P (X 2=Y 2)=1, 求:(1)(X , Y ) 的分布;(2)Z =XY 的分布;(3)ρXY .
(23)(X , Y ) 在G 上服从均匀分布,G 由x −y =0, x +y =2与y =0围成。(1)求边缘密度f X (x );(2)求f X Y (x y ).
2010年数学(一)
一、选择题
⎧0 x
(7)设随机变量X 的分布函数F (x ) =⎪⎨x ≤1则P {X =1}=
⎪2−x ⎪⎩1−e x >2
(A)0(C)−e −1
1
2
(B)1(D)1−e −1
(8)设f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2(x ) 为[−1,3]上均匀分布的概率密度,
⎧af 1(x ) x ≤0
f (x ) =⎨ (a >0, b >0)
bf (x ) x >0⎩2
为概率密度, 则a , b 应满足(A)2a +3b =4(C)a +b =1二、填空题
(14)设随机变量X 概率分布为P {X =k }=
EX 2=
C
(k =0,1,2, ⋯), 则k !
(B)3a +2b =4
(D)a +b =2
.
三、解答题
(22)设二维随机变量(X +Y ) 的概率密度为
f (x , y ) =A e f Y |X (y |x ).
−2x 2+2xy −y 2
, −∞
(23)设总体X 的概率分布为
X P
1
1−θ
2
θ−θ2
3
θ2
其中θ∈(0,1)未知, 以N i 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n ) 中等于i 的个数(i =1, 2,3), 试求常数a 1, a 2, a 3, 使T =∑a i N i 为θ的无偏
i =13
估计量, 并求T 的方差.
2009年数学(三)
一、选择题
(7)设事件A 与事件B 互不相容,则()(A)P (AB ) =0(C)P (A ) =1−P (B )
(B)P (AB ) =P (A ) P (B ) (D)P (A ∪B ) =1
(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布N (0, 1) , Y 的概率分布为P {Y =0}=P {Y =1}=,记F z (z ) 为随机变量Z =XY 的分布函数,则函数F z (z ) 的间断点个数为()(A)0二、填空题
(14)设X 1, X 2,..., X m 为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本,X 和
S 2分别为样本均值和样本方差。记统计量T =X −S 2,则ET =_________.
___
1
2
(B)1(C)2(D)3
三、解答题
(22)(本题满分11分)
⎧e -x 0
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨
⎩0 其他
(I )求条件概率密度f Y |X (y |x ) (II )求条件概率P =[X ≤1|Y ≤1](23)(本题满分11分)
袋中有一个红球,两个黑球,三个白球,现有放回的从袋中取两次,每次取一球,以X , Y , Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。(I )求P {X =1Z =0}
(II )求二维随机变量(X , Y ) 的概率分布.
2008年
一、选择题
(7)随机变量X , Y 独立同分布且X 分布函数为F (x ),则Z =max {X , Y }分布函数(
)
(A )(C )
F 2(x ).
1−⎡⎣1−F (x )⎤⎦.
2
(B )(D )
F (x )F (y ).
⎡⎣1−F (x )⎤⎦⎡⎣1−F (y )⎤⎦.
(8)随机变量X ~N (0,1),Y ~N (1,4)且相关系数ρXY =1,则(
)
(A )P {Y =−2X −1}=1. (B )P {Y =2X −1}=1. (D )P {Y =2X +1}=1.
(C )P {Y =−2X +1}=1.
二、填空题
(14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则
P {X =EX 2}=.
三、解答题
(22)(本题满分11分)
设随机变量X 与Y 相互独立,X 概率分布为P {X =i }=(i =−1,0,1),
⎧10≤y ≤1
Y 的概率密度为f Y (y )=⎨,记Z =X +Y
0其它⎩
1
3
(1)求P ⎨Z ≤
⎩
⎧
1⎫X =0⎬. 2⎭
(2)求Z 的概率密度. (23)(本题满分11分)
1n
X 1, X 2, ⋯, X n 是总体为N (µ, σ) 的简单随机样本. 记X =∑X i ,
n i =1
2
21n 122
S =(X −X ) ,T =X −S ∑i
n −1i =1n 2
(1)证T 是µ2的无偏估计量. (2)当µ=0, σ=1时,求DT .
2007年
一、选择题
(9)某人向同一目标独立的重复射击,每次射击命中目标的概率为
p (0
(A)3p (1−p ) 2(C)3p 2(1−p ) 2.
(B)6p (1−p ) 2(D)6p 2(1−p ) 2
(10)设随机变量(X , Y ) 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,
f X (x ), f y (y ) 分别表示X ,Y 的概率密度,则在Y =y 的条件下,X 的条
件概率密度f X |Y (X |Y ) 为()(A)f X (x )
(B)f y (y )
(C)f X (x ) f y (y ) .
(D)
f X (x )
f Y (y )
二、填空题
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于
的概率为 .
三、解答题
(23)(本题满分11分)
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧2−x −y ,
f (x , y ) =⎨
⎩0
0
12
(Ⅰ)求P {X>2Y};
(Ⅱ)求z =X +Y 的概率密度f z (z ) (24)(本题满分11分)
⎧1
0
⎪
1
设总体X 的概率密度为f (x ; θ) =⎪θ≤x
⎪2(1−θ), ⎪0其他,⎪⎩
其中参数θ(0
(Ⅰ)求参数θ的矩估计量θˆ.
(Ⅱ)判断42是否为θ2的无偏估计量,并说明理由.
2006年
一、填空题
(5)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,
则P {max {X , Y }≤1}=_______.
(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,
则P {max{X , Y }≤1}=二、选择题
(13)设A , B 为随机事件,且P (B ) >0, P (A |B ) =1,则必有() (A)P (A ∪B ) >P (A ). (C)P (A ∪B ) =P (A ).
(B)P (A ∪B ) >P (B ). (D)P (A ∪B ) =P (B ). .
(14)设随机变量X 服从正态分布N (µ1, σ12) ,Y 服从正态分布
2
N (µ2, σ2) ,且P {|X −µ1|P {|Y −µ2|
(A)σ1
三、解答题
(B)σ1>σ2. (D)µ1>µ2.
⎧1
⎪2, −1
(22)随机变量x 的概率密度为f x (x )=⎪⎨,0≤x
⎪4
⎪0, 其他⎪⎩
二维随机变量(X , Y ) 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度f Y (y )
⎞
(Ⅱ)F ⎛−, 4⎜2⎟
⎝
⎠1
(23)设总体X 的概率密度为
0
⎪
F (X ,0)=⎨1−θ1≤x
⎪0其它⎩
X 1, X 2..., X n 为来自总体X 的简单随机样本, 记N 为样本值
x 1, x 2..., x n 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.
2005年
一、填空题
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从1, 2, ⋯, X 中任取一个数,记为Y , 则P {Y =2}=______.二、选择题
(13)设二维随机变量(X , Y ) 的概率分布为
X 01
00.4b
1a 0.1
已知随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立,则()
(A)a =0.2, b=0.3(C)a =0.3, b=0.2?
(B)a =0.4, b=0.1(D)a =0.1, b=0.4
(14)设X 1, X 2, ⋯, X n (n ≥2) 为来自总体N (0,1)的简单随机样本,为样本均值,S 2为样本方差,则()
(A)(C)
n ~N (0, 1)
(n −1) ~t (n −1) S
(B)(D)
nS 2~χ2(n ).
(n −1) X 12
~F (1, n −1).
∑X
i =2
n
2i
(13)(数三)设λ1, λ2是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1, α2,则α1,A (α1+α2) 线性无关的充分必要条件是()
(A)λ1=0.
(B)λ2=0. (C)λ1≠0.
(D)λ2≠0.
(14)(数三)设一批零件的长度服从正态分布N (µ, σ2) ,其中µ, σ2均未知.现从中随机抽取16个零件,测得样本均值=20(cm ) ,样本标
准差s =1(cm ) ,则µ的置信度为0.90的置信区间是()
(A)(20−1t 140. 05(16), 20+4t 0. 05(16)).
(B)(20−14t (16), 20+1
0. 14t 0. 1(16)).
(C)(20−14t 20+1
0. 05(15), 4t 0. 05(15)).
(D)(20−14t 1
0. 1(15), 20+4
t 0. 1(15)).
三、解答题
(22)(本题满分13分)
设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
f (x , y ) =⎧⎨
1, 0
其他. 求:(I)(X , Y ) 的边缘概率密度f X (x ), f Y (y ) ;(II)Z =2X −Y 的概率密度f Z (z ). (III)P {Y ≤
11
2X ≤2
(23)(本题满分13分)
设X 1, X 2, ⋯, X n (n >2) 为来自总体N (0,σ2) 的简单随机样本,值,记Y i =X i −i =1, 2, ⋯, n .
求:(I)Y i 的方差DY i , i =1, 2, ⋯, n ;(II)Y 1与Y n 的协方差Cov (Y 1, Y n ).
(III)若c (Y 1+Y n ) 2是σ2的无偏估计量,求常数c .
为样本均