2.3双曲线 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

1 知识与技能

[1] 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。

[2] 能根据已知条件利用定义或待定发系数法求双曲线的标准方程.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。

[3] 进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法.了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。

2过程与方法

[1]提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

[2]通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用.

[3]培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。

3 情感态度与价值观

[1]亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

[2]通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

[3]养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，培养学生分析、解决问题的能力。

2. 教学重点/难点

重点：通过类比、提出猜想进而操作确认，获得双曲线的定义并推导双曲线的标准方程。

难点：[1]双曲线的标准方程的推导。

[2]综合应用双曲线的标准方程解决生产生活中的实际问题。

3. 教学用具

多媒体、木板、拉链等

4. 标签

教学过程

教学过程设计

1 旧知回顾、引入新课

【师】同学们好。从今天我们开始进入新一节内容的学习：双曲线及其标准方程。

【板书】2.3.1.双曲线及其标准方程

【师】请同学们回忆一下前几节课的知识？

【板书】

椭圆的定义？

椭圆的标准方程？

椭圆的简单几何性质？

椭圆知识的考查方式？

【生】椭圆的定义是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于ⅠF1F2Ⅰ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为m时，椭圆即为点

集。

【生】椭圆的标准方程有两个（分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况）：

【生】椭圆的简单几何性质有范围、对称性、顶点、焦点坐标、离心率等内容。

【生】椭圆知识的考查方式有两种方式：给方程题和求方程题。常见延伸问题有焦点弦、焦点半径、焦点三角形、直线与曲线的交点、直线与圆锥曲线相交的弦长公式、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。

给方程题：较大分母是a2,较小分母是b2,焦点所在轴与含a2项所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,继而依次写出顶点、焦点坐标、离心率等。 求方程题：根据待定系数法就是确定a2与b2和焦点所在轴。

【师】下面我们研究一种我们初中曾经学过的“新”的曲线。（反比例函数的图像就是双曲线，但是坐标系建立方式不同，方程形式也不同）

【师】考虑以下问题，思考后作答：

问题：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹”是什么？

阅读教材P52～55，回答下列问题：双曲线的定义、图形、标准方程、应用。

【生】小组合作，思考、交流，得出结论。

（1）小组合作

[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的轨迹是什么？

观察AB两图探究双曲线的定义

①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a

②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a

上面两条曲线合起来叫做双曲线。

【师】根据以上分析，试给双曲线下一个完整的定义？

【生】

文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值

等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。

两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点。

两个定点间的距离|F1F2|=2c 叫做焦距。

符号描述：| |MF1|-|MF2| | = 2a（2a

图形：

【师】请同学们利用搜集的知识说一说双曲线的历史起源和现实应用。

【生】我说双曲线的历史起源：

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1] 。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

【生】我说双曲线的现实应用：

双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。

【师】初中学过的反比例函数的图像就是一种特殊的双曲线，叫做等轴双曲线，以其渐近线为坐标系建立方程，得到的函数解析式就是

在教师的启发下，师生共同完成几种特殊情形的探究。

。

【师】再考虑以下问题，思考后作答:

（1）|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？

【生】右支。

【师】（2）|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？

【生】左支。

【师】（3）若2a=2c,则轨迹是什么？

【生】分别以F1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。

【师】（4）若2a>2c,则轨迹是什么？

【生】无轨迹。

【师】（5）若2a=0,则轨迹是什么？

【生】此时|MF1|=|MF2|，轨迹是线段F1F2的垂直平分线。

【师】仿照椭圆建立坐标系的方法，请建立双曲线的方程。

【生】建系设点。设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-

c,0),F2(c,0)，常数=2a

双曲线就是集合： P={M |||MF1|-|MF2|| = 2a }。

叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，

焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里c2=a2+b2。

【师】请同学们尝试将焦点所在轴设为y轴，过焦点连线的垂直平分线为x轴，方程会变成怎样？

【生】和椭圆的方程焦点在y轴的变化一样，方程中的x、y位置互换！方程变为。

【师】好，谁来总结一下？

【生】双曲线有两个标准方程：

分别是焦点在x轴上时

。

【师】讨论一下a、b有没有必然的大小关系？

【生】双曲线中的a、b没有必然的大小关系，方程右边为1时，左边被减数的分母是a2。

2 新知介绍

[1]双曲线及其标准方程

【师】于是，我们可以得到双曲线及其标准方程。

文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。

符号描述和图形：（如右图）

和焦点在y轴上时

助记：(椭圆到双曲线)“和”变“差”，一字之差，天地大变，从有限变无限，从看整个到看不全，a、c大小互换，还好焦点坐标没变、三对称没变。

【师】请将双曲线与椭圆对比记忆。

[2]双曲线非标准方程的标准化

【师】下面我们做一些练习！

求出下列双曲线的a2、b2，并写出焦点坐标。

【生】（1）a2＝16 b2＝9，焦点F（±5，0）

（2）a2＝9 b2＝16，焦点F（±5，0）

【师】以上答案有问题么?

【生】第二个方程有问题，方程右边不是1，而是－1.

【师】有什么办法么？

【生】方程两边同时乘以－1就可以了。

【师】（2）的正确答案变了么？

【生】正确答案是（2）a2＝16 b2＝9，焦点F（0，±5）

【师】对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。

非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）

1、方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习1、3、5）

2、方程左边不标准。

（1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（M—N型写为－N+M型）

（2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理

【生】（3）、（4）、（5）都是非标准方程，先标准化再提取信息。

（3）两边同时除以－225，得到标准方程

焦点F（0，±） ，a2＝25， b2＝9，

（4）左边分母标准化，

0）

（5）两边同时除以5,得，a2＝1 b2＝，焦点F（±，，位置和系数标准化，得

[3]双曲线及其标准方程应用

问题：双曲线及其标准方程能解决什么问题？

【生】由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。应用于通风塔，冷却塔、地标建筑等建筑设计。造型优美，功效显著！既轻巧又坚固。生活中和军事上可以用于定位。

[4]例题处理

【师】下面我们来处理书上的例题。

【生】练习并讨论。

【例1】已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为：

，

∵ 2a = 6,2c=10，∴ a = 3, c = 5.∴ b2 = 52-32 =16.

所以所求双曲线的标准方程为：

【拓展探究】已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，动点P满足|PF1|-|PF2|＝6.求动点P的轨迹方程.

解：∵|F1F2|＝10，|PF1|-|PF2|＝6，∴由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的右支.

∵两焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，∴设它的标准方程为：

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2 =52-32 =16.∴动点P的轨迹方程为

【师】请大家总结求双曲线方程的基本步骤。

【生】1.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.

2.现实应用中双曲线有可能变为单曲线（一支）,通过限制方程中的x的取值范围实现.

【师】补充一点，还有一种可能，焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

【例2】已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,

求炮弹爆炸点的轨迹方程.

【分析】首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值. 这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上

.

解: 如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.

∴设它的标准方程为：

设爆炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|-|PB|＝340x2=680，即 2a=680，a=340.又|AB|＝800，即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =160000－115600＝44400. ∴炮弹爆炸点的轨迹(双曲线的一支)方程为

(注：课本上只是x>0,本设计更精确)

【应用提升】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.

2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?

解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

【例3】如果方程

解：由

表示双曲线，求m的取值范围.

【应用提升】如果方程

值范围. 表示焦点在y轴上的双曲线，求m的取

由例题，从m的取值中选取适合的范围即有

【拓展探究】已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：

【师】引导学生分析条件与结论，认识到解题关键是确认已知条件中的隐藏信息。

再次强调：

1、求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.

2、焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

3、现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。

【强化练习】

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且

，求顶点A的轨迹方程。

解：在△ABC中，|BC|=10，

故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支，又因c=5，a=3，则b2=16，则顶点A的轨迹方程为

[5]小结：双曲线及其标准方程

【师】现在我们来总结一下，双曲线及其标准方程。

【板书/PPT】

【双曲线的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。

（1）当|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的右支。

（2）|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的左支。

（3）若2a=2c,则轨迹是分别以F1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。

（4）若2a>2c,则无轨迹。

（5）若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线。

【双曲线的标准方程】有两个：

分别是焦点在x轴上时

。

【考查方式】给方程题与求方程题

给方程题一般涉及方程的标准化：

对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。

非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）

1.方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习1、3、5）

2.方程左边不标准。

和焦点在y轴上时。

（1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（M—N型写为－N+M型）

（2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理 求方程题：一般用待定系数法：

3.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.

4.焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

5.现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。

【易错点点拨】

1.与椭圆相关知识混淆，误认为一定有a>b或仍然用a2=b2+c2来求相关值。

2.忽略非标准方程的存在，错误提取相关数据。

3.该分情况讨论的没有分情况讨论。答案不完整。

4、忽略问题的实际意义将双曲线的一支确定为两支。

课堂小结（投影，给出知识脉络图）

1. 双曲线的定义

2. 双曲线的标准方程

3. 利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题

3 复习总结和作业布置

[1]课堂练习

一、填空题

1.a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程

是 .

2.焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是 .

3.设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是 . .

4.如果方程表示双曲线，则m的取值范围

是 .

二、选择题．

5．设F1，F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，且

，则点P到x轴的距离( )

A．1 B． C．2 D．

6．P为双曲线

径的圆与圆为上一点，若F是一个焦点，以PF为直的位置关系是( )

A．内切 B．外切 C．内切或外切 D．无公共点或相交

7．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为( )

A．双曲线和一直线

B．双曲线和一条射线

C．双曲线的一支和一条射线

D．双曲线的一支和一条直线

三、解答题

8．若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围。

【解答】

一、填空题

二、选择题．5. B 6. C 7. C

三、解答题

8.解：由双曲线的标准方程可知(k+1)>0且(k2+k-2)

9.解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn

所以所求双曲线方程为

[2]作业布置

1、自学完成课本P58练习。.

2、课本P61习题2．3（A组）第1、2题

课本P62习题2．3（B组）第2题

3、选做题：

1.设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为_______.

2.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之积等于m(m≠0)，若顶点C的轨迹是双曲线（去掉两个顶点），求m的取值范围. (附答案：)

1.由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，

∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝

由余弦定理得

∴△PF1F2为直角三角形．

2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为

，BC的斜率为

依题意有

原方程可化为,化简得mx2-y2=25m(y≠0).因为m≠0，所以①

由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个顶点）,所以m＞0.

所以所求m的取值范围是(0,+∞)．

4、预习提纲：

前面学习了椭圆的简单几何性质，类比学习下一节双曲线的简单几何性质．