四(6)三角函数的图像及其性质(教师)
模块： 四、三角 课题： 6、三角函数的图像及其性质
教学目标： 理解正弦、余弦、正切函数的概念，会用“五点法”作图；掌握其奇偶性、单
调性、值域及最值；掌握一般正弦函数y =A sin (ωx +ϕ)中参数的物理意义
及对函数图像的影响，掌握其基本函数性质；理解周期与周期函数的性质并会求三角函数的周期．
重难点： 正弦、余弦、正切函数的定义、图像与性质；三角函数的周期性． 一、 知识要点
2、函数y =A sin (ωx +ϕ)的图像
一般的，函数y =A sin (ωx +ϕ)（其中A >0, ω>0）的图像可由“五点法”或图像变换法得到．
（1）“五点法”：先求出当ωx +ϕ为0,
π
3
, π,
π, 2π时相对应的y 值，其次分别求出22
对应的x 值，再列表、描点、连线，最后根据函数的周期性，将图像向左、右无限扩展，即可得y =A sin (ωx +ϕ)在R 上图像． （2）图像变换法：一般可按下述步骤进行：
振幅变换平移变换周期变换
y =sin x −−−−→y =A sin x −−−−→y =A sin (x +ϕ)−−−−→y =A sin (ωx +ϕ)
①振幅变换：当A >1时，图像上各点的纵坐标伸长到原来的A 倍（横坐标不变）；当00时，图像上所有点向左平移ϕ个单位；当ϕ
③周期变换：当ω>1时，图像上各点的横坐标缩短为原来的
1
ω
倍（纵坐标不变）；当
0
二、 例题精讲
例1、求下列三角函数的定义域：
（1）y =log (1-2cos x )(2sin x +1)； 答案：（1） 2k π+
1
ω
倍（纵坐标不变）．
（2）y =⎛
⎝
π
3
,2k π+
π⎫⎛
π7π⎫
2k π+,2k π+⎪ ⎪, k ∈Z ； 2⎭⎝26⎭
（2）[-4, -π] ⎢0,
⎡π⎫⎛π⎤
⎪ , π⎥． ⎣2⎭⎝2⎦
例2、求三角函数y =lg (sin x +cos x -sin x cos x +3)的定义域与值域．
答案：{y |≤y ≤lg 4}
例3、求下列函数的值域：
（1
）y =sin 2x +x cos x -1, x ∈⎢0, （2）y =3sin x +cos 2x ；
（3）y =(2+sin x )(2+cos x ), x ∈⎢
⎡π⎤
； ⎥2⎣⎦
⎡ππ⎤, ⎥； ⎣42⎦
（4）y = （5）y =
⎛1⎫⎪⎝2⎭
cos 2x -cos x
；
2sin x -1
, x ∈[0, π]；
cos x +2
（6）y =cos (2sin x ), x ∈⎢-
⎡π2π⎤
, ⎥． 63⎦⎣17⎤
答案：（1）（2）（3
）（4
）（5
）6, +；；⎢-⎢-1, 2⎥；⎢⎢⎢-4, 8⎥；
⎣2⎣⎦⎣4⎣⎦⎣（6）cos2,1．
例4、判断下列函数的奇偶性：
⎡1⎤⎡⎡9⎡1⎡
；⎦
[]
sin x +tan x
；
3cot x
1+sin x -cos x
（2）f (x )=；
1+sin x +cos x
（1）f (x )=
（3）f (x )=sin x -cos x +cos2x ．
4
4
答案：（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）既奇又偶函数．
例5、求下列函数的最小正周期： （1）y =sin 6x +cos 6x ； 答案：（1）
例6、确定函数f (
x )=log 1 x -
2
（2）y =tan x -cot x ； （3）y =
tan x
2
1-tan x
πππ；（2）；（3）． 222
⎛
⎝
π⎫⎤
⎪⎥的定义域、值域、单调区间、奇偶性、4⎭⎦
周期性．
答案：定义域： 2k π+
⎛⎝
π
4
,2k π+
5π4
⎫
⎪，k ∈Z ； ⎭
值域：⎢-
⎡1⎫
, +∞⎪； ⎣2⎭
⎡
⎣
3π5π,2k π+44
单调区间：增区间：⎢2k π+奇偶性：非奇非偶函数； 周期：2π．
π3π⎤⎫⎛
k ∈Z ； ；减区间：，2k π+,2k π+⎪ ⎥44⎦⎭⎝
例7、已知函数f (x )=a 2sin 2
⎛
⎝x ⎫
+sin x ⎪+b ． 2⎭
（1） 当a =1时，求函数f (x )的单调递减区间；
（2） 当a
[][]
⎡⎣
3π7π⎤
，k ∈Z （2
）a =1b =3 , 2k π+
44⎥⎦
例8、如图，已知函数y =A sin (ωx +ϕ)+k
(A >0, ω>0)在一个周期内的图像，求函数的
解析式． 答案：y =2sin
例9、函数y =a sin x +b cos x +c 的图像上有一个最低点 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
π⎫⎛2
x -⎪．
2⎭⎝3
⎛11π⎫
,1⎪，将图像上每点的6⎝⎭
3
π
倍，然后向左平移1个单位得到y =f (x )的图像，
且f (x )=3的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，求f (x )的解析式和最小正周期．
答案：f (x )=2sin
三、
π
3
x +3，T =6．
课堂练习
2
1、函数y =2sin x cos x -2sin x +1的最小正周期是． 答案：π
2、函数y =lg (1-2cos x )的定义域为． 答案： 2k π+
⎛⎝
π
3
,2k π+
5π3
⎫
⎪，k ∈Z ⎭
3
、函数y 的奇偶性为． 答案：奇函数
4
、把函数y =cos x x 的图像向左平移m (m >0)个单位所得图像关于y 轴对称，则m 的最小值为． 答案：
2π
3
5、已知函数y =A sin (ωx +ϕ)+n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是线x =
π
，直2
π
3
是其图像的一条对称轴，若A >0，ω>0，0
π
2
，则函数解析式为．
答案：y =2sin 4x +
⎛
⎝
π⎫
⎪+2 6⎭
6、下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎨α|α=
⎧⎩
k π⎫, k ∈Z ⎬； 2⎭
③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图像和函数y =x 的图像有三个公共点；
④把函数y =3sin 2x +
⎛
⎝
π⎫
3⎭
⎪的图像向右平移
π
得到y =3sin 2x 的图像； 6
⑤函数y =sin x -
⎛⎝
π⎫
⎪在(0, π)上是减函数． 2⎭
其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）． 答案：①④
四、 课后作业 一、填空题
1、函数y =2sin 2x +
⎛⎝
π⎫
⎪, x ∈[-π,0]的单调递减区间是． 6⎭
答案：⎢-
⎡5ππ⎤
, -⎥ 3⎦⎣6
π⎫⎛
2sin x +⎪
ππ6⎭⎝2、若≤x ≤，则函数y =的值域是．
cos x 43
答案：1, 4⎤
⎦
3、函数y =3sin 2x +答案：x =
⎛
⎝
π⎫
⎪图像的一条离直线x =10最近的对称轴方程是． 6⎭
19π
6
4、把函数y =cos 2x 的图像按向量a 平移，得到函数y =sin 2x +1的图像，则a =．