第二宇宙速度的推导
第二宇宙速度的推导
在地面上发射一个航天器，使之能脱离地球的引力场所需要的最小发射速度，称为第二宇宙速度。一个航天器在它的燃料烧完后脱离地球的过程中，该系统符合机械能守恒的条件。由此即可推得第二宇宙速度v 2。
要计算第二宇宙速度，必须求出在地球引力场中，移动物体时克服引力所做的功。很显然，物体上升的越高，需要做的功也就越多。但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等，随着物体高度的增加，地球引力将逐渐减弱。当物体与地球的距离趋于无穷大时，地球对它的引力也就趋于零，这时物体就脱离了地球的引力场。因此，物体由地球表面上升到无限远处克服地球引力所做的功为一定值。这一数值可用下面的方法进行推算。
如图所示，设物体m 从地球E 的引力场中从P 0处移动到P n 处。因各处的引力不等，我们可把P 0P n 的一段距离分成许多极小的等分Δx 。P 0、P 1、P 2、…… P n 和地球中心的距离分别为r 0、r 1、r 2、…… r n ；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等分时物体克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从P 0移动到P n 克服地球引力所做的功。如果物体依靠消耗自身的动能来完成它所需做的功，那么它从P 0移动到P n 克服地球引力所做的功，就等于它动能的减少。
根据万有引力定律，如果用G 表示万有引力恒量，M 表示地球的质量。物体在P 0处所受的引力为F 0=G mM mM F =G ；物体在P 处所受的引力为 。 11r 02r 12
因为P 0和P 1相距极近，物体在P 0、P 1间所受万有引力的平均值可以近似地等于两处引力的比例中项，即： F 1=G mM ； r 0r 1
同理，物体在P 1、P 2间所受的平均引力为F 2=G mM ； r 1r 2
…………………………………………………………
物体在P n -1、P n 间所受的平均引力为F n =G m M 。 r n -1r n
物体从P 0移动到P 1的过程中克服万有引力所做的功为：
W 1 =（P 0、P 1间物体受到的平均引力）×（P 0、P 1间的距离）
即 W 1=G ⎛11⎫mM ； (r 1-r 0)=GmM -⎪ ⎪r 0r 1⎝r 0r 1⎭
物体从P 1移动到P 2时克服万有引力所做的功为：
⎛11⎫W 2=GmM r -r ⎪⎪； ⎝12⎭
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同理，物体从P n -1移动到P n 时克服万有引力做的功为：
⎛11⎫ W n =GmM -⎪⎪ r r ⎝n -1n ⎭
把以上各式相加，得到物体从P 0移动到P n 整个过程中克服万有引力所做的功为：
W = W 1 + W 2 + …… W n = GmM ⎛11⎫。 -⎪⎪⎝r 0r n ⎭
应该指出，物体从P 0处移动到P n 处克服万有引力所做的功，在数值上就等于物体在P 0和P n 两处物体与地球组成的系统的重力势能之差，它的值只与P 0和P n 的位置有关，而与物体移动的路径无关。
如果物体在P 0处的速度为v ，它的动能就为m v 2，物体之所以能克服万有引力做功，正是因为它具有这些动能。由机械能守恒定律可知，如果只考虑克服地球引力做功，物体所具有的动能应满足下列条件： 12
⎛11⎫12， m v =GmM -⎪ ⎪2⎝r 0r n ⎭
⎛11⎫即物体应具有的速度为： v =2GM r -r ⎪⎪。
n ⎭⎝0
在以上的推导过程中，我们没有考虑物体在运动过程中克服空气阻力做功，也没有考虑太阳及其它天体引力的影响。在实际情况下，要使物体从P 0移动到P n ，所需的动能应更大些。
由以上推导得出的速度表达式可知，使物体从地球表面r = R 处出发而脱离地球，即到达r n = ∞处，物体所具有的速度即为第二宇宙速度，所以第二宇宙速度为：
2GM ⎛11⎫v 2=2GM -⎪==2gR =11. 2km /s 。 R ∞R ⎝⎭