二次函数考查重点与常见题型
二次函数考查重点与常见题型(复习)
1. 考查二次函数的定义、性质,如:
已知以x 为自变量的二次函数y =(m -2) x 2+m 2-m -2的图像经过原点, 则m 的值是 2
.
综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像。
如图,如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内,那么函数y =kx 2+bx -1的图像大致是( )
3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式。如:已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x =
条抛物线的解析式。
4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值。
3已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y 轴交点的纵坐标是- 2
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
例1 (1)二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图1,则点M (b , ) 在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示,•则下列结论:①a 、b 同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取0. 其中正确的个数是( )
A .1个 B.2个 C.3个 D.4个 5,求这3c a
(1) (2)
例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于点(-2,O) 、(x1,0) ,且1O;③4a+cO,其中正确结论的个数为( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
例3. 已知:关于x 的一元二次方程ax +bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛22
物线的顶点坐标为( )
A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2)
例4、(2006年烟台市)如图(单位:m ),等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合.设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为y m 2.
(1)写出y 与x 的关系式;
(2)当x=2,3.5时,y 分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,
三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y=125x +x-. 22
1
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,求线段AB 的长.
例6. 已知:二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10) ,交x 轴于A (x 1, 0) ,B (x 2, 0) 两点(x 1
负半轴于C 点,且满足3AO=OB.
(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M ,使锐角∠MCO>∠ACO? 若存在,请你求出M 点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.
例7、 “已知函数y =12x
+bx +c 的图象经过点A (c ,-2), 2
求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE (如图),其中AF=2,BF=1.试在AB 上求一点P ,使矩形PNDM 有最大面积.
例2 某产品每件成本10y (件)之间的关系如下表:
若日销售量y 是销售价x 的一次函数. (1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?•此时每日销售利润是多少元?
例3. 你知道吗? 平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m ,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A .1.5 m B.1.625 m
C .1.66 m D.1.67 m
分类试题
二次函数的定义
(考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式)
1、下列函数中,是二次函数的是
.
2222
①y=x-4x+1; ②y=2x; ③y=2x+4x; ④y=-3x ; ⑤y=-2x -1; ⑥y=mx+nx+p; ⑦y =(4,x) ; ⑧y=-5x 。
222、若函数y=(m+2m-7)x +4x+5是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。
2
二次函数的对称轴、顶点、最值
2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b =c =24.若抛物线y =ax -6x 经过点(2,0) ,则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A.
25.若直线y =ax +b 不经过二、四象限,则抛物线y =ax +bx +c( )
A. 开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴
C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴
126.已知抛物线y =x +(m-1)x -的顶点的横坐标是2,则m 的值是_ . 4
28.若二次函数y=3x+mx-3的对称轴是直线x =1,则m =。
n 9.当n =______,m =______时,函数y =(m+n)x +(m-n)x 的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口
________.。
2函数y=ax+bx+c的图象和性质
221.把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x-3x+5,试求b 、c
的值。
函数y=a(x-h) 的图象与性质
2221.已知函数y=2x,y=2(x-4) ,和y=2(x+1)。
(1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
222(2)分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x得到抛物线y=2(x-4) 和y=2(x+1)?
122.二次函数y=a(x-h) 的图象如图:已知a= ,OA =OC ,试求该抛物线的解析式。 22
二次函数的增减性
1. 二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时,y 随x 的增大而 ;当x
2. 已知函数y=4x2-mx+5,当x> -2时,y 随x 的增大而增大;当x
153. 已知二次函数y=-x 2+3x+的图象上有三点A(x1,y 1),B(x2,y 2),C(x3,y 3) 且3
为 .
二次函数的平移
36. 抛物线y= -x 2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式为 。 2
7. 抛物线y= 2x2, ,可以得到y=2(x+4}2-3。
8. 将抛物线y=x2+1向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为
函数的交点
11. 抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
12. 直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。
函数的的对称
14. 抛物线y=ax2+bx+c关于x 轴对称的抛物线为y=2x2-4x+3,则 a= b= c=
函数的图象特征与a 、b 、c 的关系
1. 已知抛物线y=ax+bx+c的图象如右图所示,则a 、b 、c 的符号为( )
A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b0,b
2. 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示,则下列结论正确的是( )
A .a+b+c> 0 B .b> -2a C .a-b+c> 0 D .c
3. 抛物线y=ax2+bx+c中,b =4a ,它的图象如图3,有以下结论:
2 ①c>0; ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b -4ac
的为( )
A .①② B .①④ C .①②③ D .①③⑤
4. 当b
3 2
5. 已知二次函数y =ax +bx +c ,如果a>b>c,且a +b +c =0,则它的图象可能是图所示的( )
226.二次函数y =ax +bx +c
的图象如图5所示,那么abc ,b -4ac , 2a+b ,a
+b +c
四个代数式中,值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个
D.1
个
c 7. 在同一坐标系中,函数y= ax2+c与y= (a
A B C D
二次函数与x 轴、y 轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
1. 已知抛物线y =5x +(m-1)x +m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧,它们的距离平方等于为 249,则m 的值为( ) 25
A. -2 B.12 C.24 D.48
22. 若二次函数y =(m+5)x+2(m+1)x+m的图象全部在x 轴的上方,则m 的取值范围是
23. 已知抛物线y =x -2x-8,
(1)求证:该抛物线与x 轴一定有两个交点;
(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,且它的顶点为P ,求△ABP 的面积。
函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax+bx+c,然后解三元方程组求解;
1.已知抛物线过A (1,0)和B (4,0)两点,交y 轴于C 点且BC =5,求该二次函数的解析式。
2二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(x-h) +k
求解。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a(x-x 1)(x-x 2) 。
3.y= -x 2+2(k-1)x+2k-k 2,它的图象经过原点,求①解析式 ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。 2
二次函数应用
1. 某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。假定每月销售件数y(件)是价格X 的一次函数.
(1)试求y 与x 的之间的关系式.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)
2. 有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。
(1)设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元,写出P 关于X 的函数关系式。
(2)如果放养X 天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出Q 关于X 的函数关系式。
(2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本—费用),最大利润是多少?
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